【BZOJ1791】【IOI2008】【基环树】island（status速度第一）





1791: [Ioi2008]Island 岛屿 

Time Limit: 20 Sec  Memory Limit: 162 MB
Submit: 908  Solved: 159
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Description

你将要游览一个有N个岛屿的公园。从每一个岛i出发，只建造一座桥。桥的长度以Li表示。公园内总共有N座桥。尽管每座桥由一个岛连到另一个岛，但每座桥均可以双向行走。同时，每一对这样的岛屿，都有一艘专用的往来两岛之间的渡船。 相对于乘船而言，你更喜欢步行。你希望所经过的桥的总长度尽可能的长，但受到以下的限制。 • 可以自行挑选一个岛开始游览。 • 任何一个岛都不能游览一次以上。 • 无论任何时间你都可以由你现在所在的岛S去另一个你从未到过的岛D。由S到D可以有以下方法： o 步行：仅当两个岛之间有一座桥时才有可能。对于这种情况，桥的长度会累加到你步行的总距离；或者 o 渡船：你可以选择这种方法，仅当没有任何桥和/或以前使用过的渡船的组合可以由S走到D（当检查是否可到达时，你应该考虑所有的路径，包括经过你曾游览过的那些岛）。 注意，你不必游览所有的岛，也可能无法走完所有的桥。 任务 编写一个程序，给定N座桥以及它们的长度，按照上述的规则，计算你可以走过的桥的最大长度。 限制 2 <= N <= 1,000,000 公园内的岛屿数目。 1<= Li <= 100,000,000 桥i的长度。 

Input

• 第一行包含N个整数，即公园内岛屿的数目。岛屿由1到N编号。 • 随后的N行每一行用来表示一个岛。第i 行由两个以单空格分隔的整数，表示由岛i筑的桥。第一个整数表示桥另一端的岛，第二个整数表示该桥的长度Li。你可以假设对於每座桥，其端点总是位于不同的岛上。 

Output

你的程序必须向标准输出写出包含一个整数的单一行，即可能的最大步行距离。 注1：对某些测试，答案可能无法放进32-bit整数，你要取得这道题的满分，可能需要用Pascal的int64或C/C++的long long类型。 注2：在比赛环境运行Pascal程序，由标准输入读入64-bit数据比32-bit数据要慢得多，即使被读取的数据可以32-bit表示。我们建议把输入数据读入到32-bit数据类型。 评分 N不会超过4,000。 

Sample Input

7
 3 8
 7 2
 4 2
 1 4
 1 9
 3 4
 2 3

Sample Output

24

/******************************************************************************/

题意：

输入n，然后n行第i行是由i向外引一条无向边，以及输入边的权值，这样会组成k个联通图，每个图上取两点，使其间路径长度最大，求这些“最大路径”长度总和。

 

题目分析：

首先一个n点联通图上会有n条边，而它又联通，所有它一定是有环的，而因为有n-1条边的n点联通图保证图联通且无环，剩下一条边则一定使“树”中有且只有一个环，于是得证每个联通图都是一个“基环树”，即有且仅有一个环的树。

那么现在我们应该输出的就是所有基环树的直径总和（树的直径即树上点不重复的最长路径）。

 

如图，这棵基环树的直径就是11到5，经过3，长度71。

题解：

我们需要对每个基环树单独处理，先搜到它的环，然后dfs求每个环上点往外枝杈的最长路径，这样每个点就有了一个权值，然后环上每个边又有了一个权值，就可以在环上做一发单调队列动规，求基环树直径长度啦！

当然，我们对于每棵树的直径是在动规里面定论的，不过它的初值却不能在动规前赋成0！

如下图中，直径就不经过环，为13到6，长度79，所以在dfs求环上点权的，也不能忘了更新直径值，不过怎么更新就需要略加斟酌了。

 

实现：

首先双向建边，然后对任意点搜索，搜到某个点已经搜过了，就代表这个点是环上的，然后处理环，再然后就是搜索找到每个点，然后递归出枝杈边权和最长值，作为点权值，进行单调队列优化后的动规，过程中更新直径长度，单调队列把点倍增，然后两点间长度小于环长度即可。

我在此证明一下动规的单调性。【甚水，可略过】首先设点A、B、C、D依次排列，则从A到D（有向，不能从D到A）的长度为环上A到D的长度和加上A、D点权和。不要问我为什么不能从D到A，因为我已经把点倍增了，从D到第二个A就是“从D到A”了。

好吧，跑题了，我来总结一下，

长度A到D = A点权+A~B边长+B~C边长+C~D边长+D点权

那么长度B到D就 = B点权+B~C边长+C~D边长+D点权

发生了什么？什么？只要B点权 > A点权+A~B边长，那么从B到D就比A到D优！同理，后面的一样。

结果出来了，然后输出即可，注意输入要用int，输出用long long，不然会超时，超很多，IOI2008测试数据中isl18f.in秒出解，但是用long long 读入，呵呵呵呵。

时间丶代码复杂度优化：

找环实现很烦很磨叽对不对？这时候我们可以引入一种新的解决方法，类似于最小树形图找环的实现（上文的实现方法我其实AC前并不知道）。

目前BZOJ排名第一你怕不怕？常数再好好写写还能更快你怕不怕？就问你怕不怕？

这里就需要运用到本题的一些性质。

首先我们可以把数据输入时的边方向当成正方向，其反方向，好吧，“当成”反方向。这样每个点都有且仅有一条出边。然后我们从任意一个点开始遍历，如果没有环，那是不是根本停不下来？！而数据又是有限的，所以最后就一定会连到已有的链上的某点，而很好想，这个点向前遍历，最后会回到这个点上，即它是一个环，而之前的点的出边方向都是在向环推进。这时候我们再把其它点挨个遍历，首先同一个联通图是一定不会有俩环的，所以要想改变“根本停不下来”的现状，新点遍历到最后，就一定会指向某个已经遍历过的点，从而连上了环，或者方向是向环的。这样我们可以把数据输入的方向存为next[i]，然后把长度存为len[i]。而反向边则有邻接表存储（讨厌指针的我写的是链式前向星）。

这样我们只需要遍历任意点，通过next标记沿途所有点，然后遍历到一个已标记点，即可以高速找到基环树的环了，然后我们对环上每个点进行“-1”标记，禁止接下来的dfs找到该点（反边存了环上的边），从而可以再接下来的dfs中顺利给环上每个点赋值（找枝杈，递归求最长长度）。

优化到此结束，接下来的单调队列与一般做法无异了。

注意：

本题dfs递归出解时由于层数过深可能爆系统栈，所以需要写一份非递归版自写栈的dfs，我会在后面代码附上注释掉的递归版dfs以利于理解思想。（不要想着开大系统栈！那还不如手写非递归dfs呢！）

/**************************************************************
    Problem: 1791
    User: 18357
    Language: C++
    Result: Accepted
    Time:11052 ms
    Memory:120100 kb
****************************************************************/
 
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <stack>
#include <iostream>
#define N 1050000
using namespace std;
struct Syndra
{
    int u,v,len,next;
}e[N];
struct Fiona
{
    int edge,flag1,flag2;
    long long temp,max1,max2;
}s[N];
int head[N],cnt,n;
int visit[N],next[N],len[N];
int i,j,k;
long long sa[N],pre[N],ans;
void add(int u,int v,int len)
{
    cnt++;
    e[cnt].u=u;
    e[cnt].v=v;
    e[cnt].len=len;
    e[cnt].next=head[u];
    head[u]=cnt;
}
int que[N<<1];
long long sum[N<<1],ret;
long long dp(int num)
{
    int top,tail;
    int u,b,star;
    int et;
    for(et=1;et<(num<<1);et++)
    {
        sum[et]=sum[et-1]+pre[(et-1)>=num?(et-1-num):(et-1)];
    }
    top=tail=0;
     
    que[top]=0;
    for(et=1;et<(num<<1);et++)
    {
        while(et-que[top]>=num)top++;
        u=que[top];
        ret=max(ret,sa[et>=num?et-num:et]+sa[u>=num?u-num:u]+sum[et]-sum[u]);
        b=que[tail];
        que[++tail]=et;
        for(star=tail;star>top;b=que[star-1])
        {
            if(sum[et]-sum[b]+sa[b>=num?b-num:b]<sa[et>=num?et-num:et])
            {
                que[star]=b;
                que[--star]=et;
            }
            else break;
        }
        tail=star;
    }
     
    /*que[tail++]=0;
    for(et=1;et<(num<<1);++et)
    {
        while(top<tail&&et-que[top]>=num)++top;
        u=que[top];
        ret=max(ret,sa[et>=num?et-num:et]+sa[u>=num?u-num:u]+sum[et]-sum[u]);
        while(top<tail&&sa[et>=num?et-num:et]>=sa[que[tail-1]>=num?que[tail-1]-num:que[tail-1]]+sum[et]-sum[que[tail-1]])--tail;
        que[tail++]=et;
    }*/
    return ret;
}
void build()
{
    cnt=1;
    memset(head,0,sizeof(head));
    memset(visit,0,sizeof(visit));
    scanf("%d",&n);
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%d%d",&next[i],&len[i]);
        add(next[i],i,len[i]);
    }
}
stack<int>sk;
int fa[N];
void dfs(int x)
{
    if(s[x].edge==0)
    {
        sk.pop();
        if(s[x].flag2)ret=max(ret,s[x].max1+s[x].max2);
        if(visit[x]==-1)
            return ;
        x = sk.top();
        {
            int v,tt=s[x].edge;
            v=e[tt].v;
            visit[v]=i;
            s[x].temp=s[v].max1+e[tt].len;
            if(s[x].max1<s[x].temp)
            {
                if(s[x].flag1)s[x].max2=s[x].max1,s[x].flag2=1;
                else s[x].flag1=1;
                s[x].max1=s[x].temp;
            }
            else if(s[x].max2<s[x].temp)s[x].max2=s[x].temp,s[x].flag2=1;
            s[x].edge=e[tt].next;
        }
        return ;
    }
    int v,tt=s[x].edge;
    v=e[tt].v;
    if(visit[v]==-1)
    {
        s[x].edge=e[tt].next;
        return ;
    }
    fa[v]=x;
    s[v].edge=head[v];
    sk.push(v);
}
long long handle(int x)
{
    s[x].edge=head[x];
    sk.push(x);
    while(!sk.empty())
    {
        dfs(sk.top());
    }
    return s[x].max1;
}/*handle(long long)+dfs(void)=dfs(long long)*/
/*long long dfs(int x)
{
    int et,v,flag1,flag2;
    long long max1,max2;
    for(max1=max2=0,flag1=flag2=0,et=head[x];et;et=e[et].next)
    {
        v=e[et].v;
        if(visit[v]==-1)continue;
        temp=dfs(v)+e[et].len;
        visit[v]=i;
        if(max1<temp)
        {
            if(flag1)max2=max1,flag2=1;
            max1=temp;
            flag1=1;
        }
        else if(max2<temp)max2=temp,flag2=1;
    }
    if(flag2)ret=max(ret,max1+max2);
    return max1;
}*/
int main()
{
//  freopen("isl.in","r",stdin);
//  freopen("isl.out","w",stdout);
    int u,v;
    build();
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        if(!visit[i])
        {
            for(u=i;!visit[u];u=next[u])
            {
                visit[u]=i;
            }
            if(visit[u]==i)
            {
                ret=0;cnt=0;
                visit[u]=-1;
                for(v=next[u];v!=u;v=next[v])
                {
                    visit[v]=-1;
                }
                v=u;
                do{
                    pre[cnt]=len[v];
                    sa[cnt++]=handle(v);
                    v=next[v];
                }while(v!=u);
                ans+=dp(cnt);
            }
        }
    }
    cout<<ans;
    return 0;
}
 


下面是读入优化后的代码，这年头，你不读入优化，光输入就得比这代码慢啊~

/**************************************************************
    Problem: 1791
    User: 18357
    Language: C++
    Result: Accepted
    Time:4556 ms
    Memory:120132 kb
****************************************************************/
 
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <stack>
#include <cctype>
#include <iostream>
#define N 1050000
using namespace std;
inline int getc() {
    static const int L = 1<<15;
    static char buf[L],*S=buf,*T=buf;
    if(S==T){
        T=(S=buf)+fread(buf,1,L,stdin);
        if(S==T)return EOF;
    }
    return *S++;
}
inline int getint() {
    int c;
    while(!isdigit(c = getc()));
    int tmp = c-'0';
    while(isdigit(c=getc()))
        tmp=(tmp<<1)+(tmp<<3)+c-'0';
    return tmp;
}
struct Syndra
{
    int u,v,len,next;
}e[N];
struct Fiona
{
    int edge,flag1,flag2;
    long long temp,max1,max2;
}s[N];
int head[N],cnt,n;
int visit[N],next[N],len[N];
int i,j,k;
long long sa[N],pre[N],ans;
void add(int u,int v,int len)
{
    cnt++;
    e[cnt].u=u;
    e[cnt].v=v;
    e[cnt].len=len;
    e[cnt].next=head[u];
    head[u]=cnt;
}
int que[N<<1];
long long sum[N<<1],ret;
long long dp(int num)
{
    int top,tail;
    int u,b,star;
    int et;
    for(et=1;et<(num<<1);et++)
    {
        sum[et]=sum[et-1]+pre[(et-1)>=num?(et-1-num):(et-1)];
    }
    top=tail=0;
    /*
    que[top]=0;
    for(et=1;et<(num<<1);et++)
    {
        while(et-que[top]>=num)top++;
        u=que[top];
        ret=max(ret,sa[et>=num?et-num:et]+sa[u>=num?u-num:u]+sum[et]-sum[u]);
        b=que[tail];
        que[++tail]=et;
        for(star=tail;star>top;b=que[star-1])
        {
            if(sum[et]-sum[b]+sa[b]<sa[et])
            {
                que[star]=b;
                que[--star]=et;
            }
            else break;
        }
        tail=star;
    }
    */
    que[tail++]=0;
    for(et=1;et<(num<<1);++et)
    {
        while(top<tail&&et-que[top]>=num)++top;
        u=que[top];
        ret=max(ret,sa[et>=num?et-num:et]+sa[u>=num?u-num:u]+sum[et]-sum[u]);
        while(top<tail&&sa[et>=num?et-num:et]>=sa[que[tail-1]>=num?que[tail-1]-num:que[tail-1]]+sum[et]-sum[que[tail-1]])--tail;
        que[tail++]=et;
    }
    return ret;
}
void build()
{
    cnt=1;
    memset(head,0,sizeof(head));
    memset(visit,0,sizeof(visit));
    n=getint();
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        next[i]=getint();
        len[i]=getint();
        add(next[i],i,len[i]);
    }
}
stack<int>sk;
int fa[N];
void dfs(int x)
{
    if(s[x].edge==0)
    {
        sk.pop();
        if(s[x].flag2)ret=max(ret,s[x].max1+s[x].max2);
        if(visit[x]==-1)
            return ;
        x = sk.top();
        {
            int v,tt=s[x].edge;
            v=e[tt].v;
            visit[v]=i;
            s[x].temp=s[v].max1+e[tt].len;
            if(s[x].max1<s[x].temp)
            {
                if(s[x].flag1)s[x].max2=s[x].max1,s[x].flag2=1;
                else s[x].flag1=1;
                s[x].max1=s[x].temp;
            }
            else if(s[x].max2<s[x].temp)s[x].max2=s[x].temp,s[x].flag2=1;
            s[x].edge=e[tt].next;
        }
        return ;
    }
    int v,tt=s[x].edge;
    v=e[tt].v;
    if(visit[v]==-1)
    {
        s[x].edge=e[tt].next;
        return ;
    }
    fa[v]=x;
    s[v].edge=head[v];
    sk.push(v);
}
long long handle(int x)
{
    s[x].edge=head[x];
    sk.push(x);
    while(!sk.empty())
    {
        dfs(sk.top());
    }
    return s[x].max1;
}/*handle(long long)+dfs(void)=dfs(long long)*/
/*long long dfs(int x)
{
    int et,v,flag1,flag2;
    long long max1,max2;
    for(max1=max2=0,flag1=flag2=0,et=head[x];et;et=e[et].next)
    {
        v=e[et].v;
        if(visit[v]==-1)continue;
        temp=dfs(v)+e[et].len;
        visit[v]=i;
        if(max1<temp)
        {
            if(flag1)max2=max1,flag2=1;
            max1=temp;
            flag1=1;
        }
        else if(max2<temp)max2=temp,flag2=1;
    }
    if(flag2)ret=max(ret,max1+max2);
    return max1;
}*/
int main()
{
    int u,v;
    build();
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        if(!visit[i])
        {
            for(u=i;!visit[u];u=next[u])
            {
                visit[u]=i;
            }
            if(visit[u]==i)
            {
                ret=0;cnt=0;
                visit[u]=-1;
                for(v=next[u];v!=u;v=next[v])
                {
                    visit[v]=-1;
                }
                v=u;
                do{
                    pre[cnt]=len[v];
                    sa[cnt++]=handle(v);
                    v=next[v];
                }while(v!=u);
                ans+=dp(cnt);
            }
        }
    }
    cout<<ans;
    return 0;
}