模拟退火算法分析

 

一. 爬山算法 ( Hill Climbing )

         介绍模拟退火前，先介绍爬山算法。爬山算法是一种简单的贪心搜索算法，该算法每次从当前解的临近解空间中选择一个最优解作为当前解，直到达到一个局部最优解。

         爬山算法实现很简单，其主要缺点是会陷入局部最优解，而不一定能搜索到全局最优解。如图1所示：假设C点为当前解，爬山算法搜索到A点这个局部最优解就会停止搜索，因为在A点无论向那个方向小幅度移动都不能得到更优的解。

图1

 

 这题是poj2420，原作者认为是模拟退火，但是并不具备模拟退火的概率事件特点，因此我认为是爬山算法，并借此加入

<span style="font-size:18px;">#include <iostream>
#include <cmath>

using namespace std;

struct point
{
    double x,y;
}p[105];

int dir[8][2] = {-1,-1,-1,0,-1,1,0,-1,0,1,1,-1,1,0,1,1};

double getdis(point a, point b)
{
    return sqrt((a.x-b.x)*(a.x-b.x) + (a.y-b.y)*(a.y-b.y));
}

double allDis(int n , point f)
{
    double sum = 0;
    for(int i = 0 ; i < n ; i++)
        sum += getdis(p[i],f);
    return sum;
}

point fermat(int n)
{
    double step = 0;
    for (int i = 0 ; i < n ; i++)
        step += fabs(p[i].x) + fabs(p[i].y);

    point f;
    f.x = 0;
    f.y = 0;
    for (int i = 0 ; i < n ; i++)
        f.x += p[i].x , f.y +=p[i].y;
    f.x /= n;
    f.y /= n;
    point t;
    while(step > 1e-10)
    {
        for (int i = 0 ; i < 8 ; i++)
        {
            t.x = f.x + dir[i][0]*step;
            t.y = f.y + dir[i][1]*step;
            if(allDis(n,t) < allDis(n,f))
                f = t;
        }
        step *=0.7;  //步长改动
    }
    return f;
}

int main(void)
{
    int n;
    while (cin >> n)
    {
        for(int i=0; i<n; i++)
            cin >> p[i].x >> p[i].y;
        double ans = allDis(n, fermat(n));
        int t = ans*10;
        if (t%10 < 5)
            cout << t/10 << endl;
        else
            cout << t/10+1 << endl;
    }
    return 0;
}</span>

二. 模拟退火(SA,Simulated Annealing)思想

         爬山法是完完全全的贪心法，每次都鼠目寸光的选择一个当前最优解，因此只能搜索到局部的最优值。模拟退火其实也是一种贪心算法，但是它的搜索过程引入了随机因素。模拟退火算法以一定的概率来接受一个比当前解要差的解，因此有可能会跳出这个局部的最优解，达到全局的最优解。以图1为例，模拟退火算法在搜索到局部最优解A后，会以一定的概率接受到E的移动。也许经过几次这样的不是局部最优的移动后会到达D点，于是就跳出了局部最大值A。

         模拟退火算法描述：

         若J( Y(i+1) )>= J( Y(i) )  (即移动后得到更优解)，则总是接受该移动

         若J( Y(i+1) )< J( Y(i) )  (即移动后的解比当前解要差)，则以一定的概率接受移动，而且这个概率随着时间推移逐渐降低（逐渐降低才能趋向稳定）

　　这里的“一定的概率”的计算参考了金属冶炼的退火过程，这也是模拟退火算法名称的由来。

　　根据热力学的原理，在温度为T时，出现能量差为dE的降温的概率为P(dE)，表示为：

　　　　P(dE) = exp( dE/(kT) )

　　其中k是一个常数，exp表示自然指数，且dE<0。这条公式说白了就是：温度越高，出现一次能量差为dE的降温的概率就越大；温度越低，则出现降温的概率就越小。又由于dE总是小于0（否则就不叫退火了），因此dE/kT < 0 ，所以P(dE)的函数取值范围是(0,1) 。

　　随着温度T的降低，P(dE)会逐渐降低。

　　我们将一次向较差解的移动看做一次温度跳变过程，我们以概率P(dE)来接受这样的移动。

　　关于爬山算法与模拟退火，有一个有趣的比喻：

　　爬山算法：兔子朝着比现在高的地方跳去。它找到了不远处的最高山峰。但是这座山不一定是珠穆朗玛峰。这就是爬山算法，它不能保证局部最优值就是全局最优值。

　　模拟退火：兔子喝醉了。它随机地跳了很长时间。这期间，它可能走向高处，也可能踏入平地。但是，它渐渐清醒了并朝最高方向跳去。这就是模拟退火。

 

下面给出模拟退火的伪代码表示。

 

三. 模拟退火算法伪代码

/*
* J(y)：在状态y时的评价函数值
* Y(i)：表示当前状态
* Y(i+1)：表示新的状态
* r： 用于控制降温的快慢
* T： 系统的温度，系统初始应该要处于一个高温的状态
* T_min ：温度的下限，若温度T达到T_min，则停止搜索
*/
while( T > T_min )
{
　　dE = J( Y(i+1) ) - J( Y(i) ) ; 

　　if ( dE >=0 ) //表达移动后得到更优解，则总是接受移动
Y(i+1) = Y(i) ; //接受从Y(i)到Y(i+1)的移动
　　else
　　{
// 函数exp( dE/T )的取值范围是(0,1) ，dE/T越大，则exp( dE/T )也
if ( exp( dE/T ) > random( 0 , 1 ) )
Y(i+1) = Y(i) ; //接受从Y(i)到Y(i+1)的移动
　　}
　　T = r * T ; //降温退火 ，0<r<1 。r越大，降温越慢；r越小，降温越快
　　/*
　　* 若r过大，则搜索到全局最优解的可能会较高，但搜索的过程也就较长。若r过小，则搜索的过程会很快，但最终可能会达到一个局部最优值
　　*/
　　i ++ ;
}

hdu 5017 Ellipsoid

这是我第一次接触模拟退火，是2014年西安网络赛的题目

当时想着用计算几何和解析几何做，后来学长说用模拟退火可以做

#include <cstdio>  
#include <iostream>  
#include <cmath>  
#include <algorithm>  
using namespace std;  
  
const double EPS = 1e-9;  
const double INF = 1e18;  
const double dx[8] = {1.0, 1.0, 0.0, -1.0, -1.0, -1.0, 0.0, 1.0};  
const double dy[8] = {0.0, 1.0, 1.0, 1.0, 0.0, -1.0, -1.0, -1.0};  
double a, b, c, d, e, f;  
  
double dis(double x, double y, double z){  
    return sqrt(x*x + y*y + z*z);  
}  
  
double getZ(double x, double y){  
    double A = c, B = d*y + e*x, C = a*x*x + b*y*y + f*x*y - 1.0;  
    double delta = B*B - 4.0*A*C;  
    if(delta < 0.0) return INF;  
    double z1 = (-B + sqrt(delta)) / (2.0 * A);  
    double z2 = (-B - sqrt(delta)) / (2.0 * A);  
    return z1*z1 < z2*z2 ? z1 : z2;  
}  
  
void work(){  
    double x = 0.0, y = 0.0, z = getZ(x, y);  
    double step = 0.8;  
    while(step > EPS){  
        for(int i=0; i<8; i++){  
            double nx = x + dx[i]*step;  
            double ny = y + dy[i]*step;  
            double nz = getZ(nx, ny);  
            if(nz >= INF) continue;  
            if(dis(nx, ny, nz) - dis(x, y, z) < 0.0){  
                x = nx, y = ny, z = nz;  
            }  
        }  
        step *= 0.99;  
    }  
    printf("%.7f\n", dis(x, y, z));  
}  
  
int main(){  
    while(scanf("%lf%lf%lf%lf%lf%lf", &a, &b, &c, &d, &e, &f) == 6){  
        work();  
    }  
    return 0;  
}  

四. 使用模拟退火算法解决旅行商问题

　　旅行商问题 ( TSP , Traveling Salesman Problem ) ：有N个城市，要求从其中某个问题出发，唯一遍历所有城市，再回到出发的城市，求最短的路线。

　　旅行商问题属于所谓的NP完全问题，精确的解决TSP只能通过穷举所有的路径组合，其时间复杂度是O(N!) 。

　　使用模拟退火算法可以比较快的求出TSP的一条近似最优路径。（使用遗传算法也是可以的，我将在下一篇文章中介绍）模拟退火解决TSP的思路：

1. 产生一条新的遍历路径P(i+1)，计算路径P(i+1)的长度L( P(i+1) )

2. 若L(P(i+1)) < L(P(i))，则接受P(i+1)为新的路径，否则以模拟退火的那个概率接受P(i+1) ，然后降温

3. 重复步骤1，2直到满足退出条件

　　产生新的遍历路径的方法有很多，下面列举其中3种：

1. 随机选择2个节点，交换路径中的这2个节点的顺序。

2. 随机选择2个节点，将路径中这2个节点间的节点顺序逆转。

3. 随机选择3个节点m，n，k，然后将节点m与n间的节点移位到节点k后面。

 

五. 算法评价

        模拟退火算法是一种随机算法，并不一定能找到全局的最优解，可以比较快的找到问题的近似最优解。 如果参数设置得当，模拟退火算法搜索效率比穷举法要高。