【bzoj1257】 余数之和sum 数论

    这道题目如果用暴力是过不了的，所以必须要优化。

    对于k mod i，我们将其转换为k-i*[k/i]（[a]表示不大于a的最大整数），那么：

ans=Σ(i=1,n) (k mod i)=Σ(i=1,n) (k-i*[k/i])=n*k-Σ(i=1,n) (i*[k/i])

     我们发现，对于许多i（尤其是当i很大时），[k/i]的值都是相等的，事实上，如果设[k/i]=m,满足[k/i]=m的最小的i为u，那么满足条件的最大的i为v=[k/m]。简单的证明如下（写得不是很清楚，建议自己思考，可以无视）：

     由于[k/u]=[k/v]=m，而v又为最大值，故有m*v<=k m*(v+1)>k，即k/m-1<v<=k/m，因此v正是[k/m]的值。

     由此，我们可以用等差数列求和来加速运算，对于所有相等的[k/i]，可以很快地算出Σ(i=u,v) (i*[k/i])的值。由于k/i的值最多有sqrt(k)个，因此不会超时。代码中的i为上述的u，j为上述的v，详细的AC代码如下：

var
  n,k,i,j,ans:int64;
begin
  readln(n,k);
  i:=int64(1);
  ans:=n*k;
  while i<=n do
    begin
      if k div i=0 then break;
      j:=k div (k div i);
      if j>n then j:=n;
      ans:=ans-(i+j)*(j-i+int64(1))*(k div i) div int64(2);
      i:=j+int64(1);
    end;
  writeln(ans);
end.

2015.2.9

by lych