bzoj 1053 [HAOI2007] 反素数 ant 题解

1053: [HAOI2007]反素数ant

Time Limit: 10 Sec   Memory Limit: 162 MB
Submit: 1134   Solved: 611
[ Submit][ Status]

Description

对于任何正整数x，其约数的个数记作g(x)。例如g(1)=1、g(6)=4。
　　如果某个正整数x满足：g(x)>g(i) 0<i<x，则称x为反质数。例如，整数1，2，4，6等都是反质数。
现在给定一个数N，你能求出不超过N的最大的反质数么？

Input

一个数N（1<=N<=2,000,000,000）。

Output

不超过N的最大的反质数。

Sample Input

1000

Sample Output

840

【序言】这种20亿的题目，不是数学方法，就是加了很多剪枝的枚举（搜索）。之前思路一直没有，去网上找来的题解都直接贴代码的，要不就是含糊地讲一通。经过认真思考后，总算想出来了。

【分析与思考】什么叫做反质数？设K是反质数，从直观的公式上来看，数K的因数比任何在区间1--K-1中的数i的因数都要多。下面给出我研究出的一个伪定理。

伪定理：如果我们要在N的范围内找最大的反质数，我们只需找到1--N中因数最多的数K就行了。（当然因数相同的情况下找最小的）

一个简短的证明：设K是1--N中因数最大的数。如果满足K<P<=N，且P是反质数，那么P的因数应该比K多。而K已经是1--N中因数最大的数了，与P矛盾。及最大的反质数就是K。

【进一步思考】但怎么找1--N中因数最大的数呢？

有数学公式：K的因数个数=(p1+1)*(p2+1)*------*(pn+1),其中K=a1^p1*a2^p2*------an^pn，且a序列全都是质数。

那么我们可以枚举每个质数来寻找因数最大的质数。

【更深的思考】那么要枚举多少质数呢？因为N<=20亿，而2*3*5*7*11*------*23*29刚好大于N。那么我们最优化枚举K的质数（及其个数）的范围就是2--29。为什么不会再大呢？感性地想一想：同样是质因数，2和3虽然因数个数相同，但2更有发展潜力（呵呵！），所以不存在“K%a2=0,K%a1>0(a1<a2，都是质数）”的情况。

【代码】

#include<stdio.h>
using namespace std;
int i,n,j;
long long ans_num,ans_sum;
int prime[11]={0,2,3,5,7,11,13,17,19,23,29};
void dfs(long long sum,long long num,long long now_pri,long long now_sum,long long now_num)
{
  long long newsum=sum*now_sum;if (newsum>n) return;
  long long newnum=num/now_num*(now_num+1);
  if (newnum>ans_num) {ans_num=newnum;ans_sum=newsum;}
  else if (newnum==ans_num&&newsum<ans_sum) ans_sum=newsum;
  dfs(newsum,newnum,now_pri,now_sum,now_num+1);
  for (int i=now_pri+1;i<=10;i++)
    dfs(newsum,newnum,i,prime[i],1);
}
int main()
{
  scanf("%ld",&n);ans_sum=1;
  if (n>1) dfs(1,1,1,2,1);
  printf("%ld",ans_sum);
}