51Nod 1189 阶乘分数 (数论)

题目：http://www.51nod.com/onlineJudge/submitDetail.html#!judgeId=34692

1/N! = 1/X + 1/Y，给出N，求满足条件的整数解的数量。例如：N = 2，1/2 = 1/3 + 1/6，1/2 = 1/4 + 1/4。由于数量可能很大，输出Mod 10^9 + 7。

Input

输入一个数N（1 <= N <= 1000000)。

Output

输出解的数量Mod 10^9 + 7。

Input示例

2

Output示例

2

分析：这和 1 / x + 1 / y = 1 / n的问题推导类似（上一篇博客）：我们可以推导出x=(n!)^2/k+n!，问题转化为求(n!)^2的约数个数和。由于结果要求模10^9+7。所以得出的结果是(ans+1)/2%mod，进一步地变成(ans+1)*q%mod. 其中q是2模mod的乘法逆元。

#include <iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int maxn=1e6+7,mod=1e9+7;
LL sta[maxn],pnum[maxn],top;
LL cal(LL n,LL v){
    if(n==0)return 0;
    return (n/v+cal(n/v,v)%mod)%mod;
}
bool notprime[maxn];
LL prime[maxn/10],top1;
void getprime(){
    for(LL i=2;i<=maxn;i++){
         if(!notprime[i]){
             prime[top1++]=i;
             notprime[i]=1;
         }
         for(LL j=0;j<top1&&i*prime[j]<=maxn;j++){
             notprime[i*prime[j]]=1;
             if(i%prime[j]==0)break;
         }
    }
}
void fenjie(LL m){
    top=0;
    memset(sta,0,sizeof(sta));
    memset(pnum,0,sizeof(pnum));
    for(LL i=0;i<top1&&prime[i]<=m;i++){
        sta[top]=prime[i];
        pnum[top++]=cal(m,prime[i]);
    }
}
LL Extend_Eulid(LL b,LL a)
{
    LL x1,x2,x3,y1,y2,y3 ;
    x1=1,x2=0,x3=a,y1=0,y2=1,y3=b ;
    while(y3 && y3!=1)
    {
        LL q=x3/y3 ;
        LL t1,t2,t3 ;
        t1=x1-q*y1,t2=x2-q*y2,t3=x3-q*y3 ;
        x1=y1,x2=y2,x3=y3 ;
        y1=t1,y2=t2,y3=t3 ;
    }
    if(!y3)return -1 ;
    return y2 ;
}
int main()
{
    //freopen("cin.txt","r",stdin);
    LL n;
    LL ni=Extend_Eulid(2,mod);
    ni=(ni+mod)%mod;
    getprime();
    while(~scanf("%lld",&n)){
    fenjie(n);
    LL ans=1;
    for(LL i=0;i<top;i++){
        LL temp=(2*pnum[i]%mod+1)%mod;
        ans=(ans*temp)%mod;
    }
    printf("%lld\n",(ans+1)*ni%mod);
    }
    return 0;
}

一些人是这样得到逆元的：

LL quick_mod(LL a,LL p){
    LL ans=1;
    while(p){
        if(p&1)ans=ans*a%mod;
        a=a*a%mod;
        p>>=1;
    }
    return ans;
}
<pre name="code" class="cpp">LL m=quick_mod(2LL,LL(mod)-2);