hihoCoder#1032_最长回文子串

求最长回文子串的算法比较经典的是manacher算法,下面写写自己的理解。

(文中用到的图片来自这里,博主写的很好,由于为了图片和代码一致,我稍微p了一下图片。)


首先,说明一下用到的数组和其他参数的含义:

(1)

      以字符串中下标为的字符为中心的回文子串半径长度;

例如:字符串,那么,    (以b为中心的回文子串是,半径长度为2。计算半径时包括b本身)


所以,数组的最大值就是最长回文串的半径。


(2)

   为当前已确定的边界能伸展到最靠右的回文串的中心。

  例如:

设黑色的线段表示字符串范围,红色的线段表示当前已经确定的回文子串在主串中的范围,虽然左边的红色线段(左边的回文子串)长度比右边长,但是,记录的中心是右边红色线段的中心,因为右边的回文子串伸展更靠右。(下面将会解释为什么要记录这个id值)

manacher算法是从左到右扫描的,所以,在计算时,都是已知的。


假设现在扫描到主串下标为的字符,那么,以为中心的回文子串最可能和之前已经确定的哪个回文子串有交集?没错,就是能伸展最靠右的回文子串,也就是以为中心的回文子串。至于这个交集有什么用,下面将解释。

以i为中心的回文串和以id为中心的回文串如果有交集,会出现三种情况:

(1)

hihoCoder#1032_最长回文子串_第1张图片

其中,2*id-i为i以id为中心的对称位置。(2*id-i这个就不用多说了吧,计算一下就得到了)

第一种情况是(上图),以2*id-i为中心的回文子串左端超出了以id为中心的回文子串(绿色部分左端超出黑色部分左端)。那么,根据回文串的特点,知道以2*id-i为中心的两边橙色部分是对称的,同样,若以id为中心,这两段橙色部分又对称id右边两段橙色部分,所以,以i为中心的两段橙色部分也是回文串。

这种情况下,       (橙色部分的长度)

那么,以i为中心的橙色部分有没有可能更长?这是不可能的,假设还可以更长,如下:

a和b对称,b和c对称,c和d对称,最终得到a和d对称,那么,以id为中心的回文串长度就不是下面黑色部分的长度了,而应左端加a右端加d,与已经求得的长度矛盾。

所以这种情况下


(2)

hihoCoder#1032_最长回文子串_第2张图片

第二种情况是以2*id-i为中心的回文子串在以id为中心的回文子串内,如上图。此时,,那么,以i为中心的绿色部分还可以伸展吗?假设可以,如下:

同样,c和d对称,b和c对称,a和d对称,得到a和b对称,那么以2*id-i为中心的回文子串长度就不是绿色部分的长度了,需要左端加a右端加b,与以求得的长度矛盾。

所以,这种情况下


(3)

第三种情况是,以2*id-i为中心的回文子串左端与以id为中心的回文子串的左端恰好重合。则有。也就是说在的基础上,还可能增加,即以i为中心的绿色部分还可能伸展。

所以,需要用一个while循环来确定它能增加多少。while循环为:

while (s[i - p[i]] == s[i + p[i]])
	++p[i];
也就是判断绿色两端(下图浅黑色线段)是否相同,如果相同,就可以不断增加。(理解p[i]的意思,就理解这个循环了)

hihoCoder#1032_最长回文子串_第3张图片



如果没有出现交集(上面三种情况),那么就以i为中心点找最长回文子串(下面代码中else的情况)。所以,算法主要是利用回文串的交集来减少计算。


如果我们将上面的情况总结起来,代码将非常简洁:

if (p[id] + id - 1 >= i)//没有超出当前边界最右的回文串,也就是上面出现交集三种情况中的一种
     p[i] = Min(p[2 * id - i], p[id] + id - i);
else//如果没有交集,就以它为中心求回文串长度
  p[i] = 1;

while (s[i - p[i]] == s[i + p[i]])
   ++p[i];



最后,需要注意的是,上面的讨论都是以某个字符为中心的回文串,比如像这样的回文串:aabaa(长度为奇数)。但是,如果是这样的回文串:aabbaa(长度为偶数),就没法处理。

我们可以通过插入特殊符号(如‘#’)的办法,将字符串统一为奇数长度,如aabaa变为#a#a#b#a#a#  ;同理,aabbaa变为#a#a#b#b#a#a# 


注意到,上面的代码:

while (s[i - p[i]] == s[i + p[i]])
     ++p[i];

可能越界(超过头或尾),我们可以通过头尾也加入不相同的特殊符号处理,如aabaa变为$#a#a#b#a#a#@。这种办法为什么可行呢?我们举个例子,还是以aabaa为例,它变成$#a#a#b#a#a#@。当i指向第一个a时(也就是i=2),这时,s[i-1]==s[i+1];继续比较s[i-2]≠s[i+2](也就是比较$和a),就不会超过头。所以,就避免了越界的现象。末尾加个@也是同样的道理。


下面是hihoCoder的一道求最长回文子串的题:http://hihocoder.com/problemset/problem/1032

我的ac代码:

#include<iostream>  
#include<string>  

int Min(int a, int b)
{
	if (a < b)
		return a;
	return b;
}

int LPS(std::string &s)
{
	std::string new_s="";
	int s_len = s.length();

	new_s.resize(2 * s_len + 3);

	int new_s_len = new_s.length();
	
	new_s[0] = '$';
	new_s[1] = '#';
	new_s[new_s_len - 1] = '@';

	for (int i = 0,j=2; i < s_len; ++i)
	{
		new_s[j++] = s[i];
		new_s[j++] = '#';
	}
	
	int *p = new int[new_s_len + 1];
	int id = 0;//记录已经查找过的边界最靠右回文串的中心
	int maxLPS = 1;
	p[0] = 1;
	for (int i = 1; i < new_s_len-1; ++i)
	{
		if (p[id] + id - 1 >= i)//有交集的情况
			p[i] = Min(p[2 * id - i], p[id] + id - i);
		else//无交集的情况
			p[i] = 1;

		while (new_s[i - p[i]] == new_s[i + p[i]])//确定能伸展多少,上面if的情况是不会执行这个循环的
			++p[i];

		if (p[id] + id < p[i] + i)//重新确定伸展最右的回文子串中心
			id = i;
		if (p[i]>maxLPS)//保存当前最长回文子串的长度(还要-1)
			maxLPS = p[i];
	}
	delete[] p;
	return maxLPS - 1;
}

int main()
{
	int N;
	std::string s;
	std::cin >> N;
	while (N--)
	{
		std::cin >> s;
		std::cout<<LPS(s)<<std::endl;
	}
	return 0;
}


在插入特殊符号($ # @)时,刚开始用insert()函数,超时了,应该是不断insert的原因。后来干脆直接用一个新的字符串保存处理后的字符串,就通过了。




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