群论学习笔记
一、群的定义
群定义在二元组(S, ⊕ )上，S是一个集合， ⊕ 是一个运算。要求二元组满足群公理：
1、封闭性： ∀x,y∈S,x⊕y∈S (x,y可以相等)
2、结合律： ∀a,b,c∈S,a⊕b⊕c=a⊕(b⊕c) (a,b,c可以相等)
3、单位元： ∃e∈S,∀x∈S,e⊕x=x⊕e=x (x,e可以相等，我们往往用e代表单位元，也叫幺元)
4、逆元： ∀x∈S,∃y∈S,x⊕y=y⊕x=e (x,y可以相等，我们称y为x的逆元，记作 x−1 )
二、一些比较简单的想法。
如果 s⊕x=e ，我们称s是x的左逆元；如果 x⊕t=e ,我们称t是x的右逆元。
若x有左逆元，则x有相等且唯一的左右逆元；x有逆元与x的消去律等价。
证明：
①若a有左逆元s，则a有右逆元t。
考虑 a0,a1,a2,...(an 表示n个a ⊕,a0=e) ,考虑最小的x使得 ax=ak(k<x) ，若 k>0 ，则 a⊕ax−1=a⊕ak−1 ， ax−1=ak−1 ，与假设不符，所以k=0.
即 ax=e ，所以 a⊕ax−1=e ，所以 ax−1 是a的右逆元，同样它也是a的左逆元。
②逆元存在于消去律存在等价。
消去律： x⊕a=y⊕a 与 x=y 互为充要条件。
证明只需在等式两边 ⊕a−1 即可。
（由消去律易知：e是唯一的。）
③a的逆元唯一。
若a有两个逆元 s,t,s≠t,a⊕s=s⊕a=a⊕t=t⊕a=e ，则 s=s⊕(a⊕t)=(s⊕a)⊕t=t ，与假设不符。
也就是说，实际上群公理第四条可以写成： ∀x∈S,∃y∈S,y⊕x=e 。
三、常见的实例
1、 (Z,+),(Q,+),(R,+) ，单位元是0， x−1=−x
2、 (Zn,+ mod n)(Zn={x∈N|x<n}) .单位元是0， x−1=n−x 。
3、 (Z∗n,∗ mod n)(Z∗n={x∈Zn|(x,n)=1})(n>1) 。
为什么有逆元呢（当然我们可以通过欧拉定理知道，但是我想给出一种不依赖于欧拉定理的想法），因为 Z∗n 中有消去律存在。
若 ax=ay mod n ，则 n∣∣a|x−y| ， a,x,y∈Z∗n ，所以 x=y .
4、置换群：群中元素是置换（双射）， ⊕ 是置换（双射）的复合。项链、图同构（常见于各种化学物质）。
四、拉格朗日定理
内容：若有限群 (S,⊕) 有子群 (S′,⊕) ，则 |S′|∣∣|S| .
证明：需要引入陪集的概念，S’关于 a∈S 的右陪集定义为 S′a={x⊕a|x∈S′} ，左陪集为 aS′={a⊕x|x∈S′} 。
那么对于 a,b∈S ,设 S′a∩S′b≠∅ ，则 ∃x,y∈S′,x⊕a=y⊕b,b=(y−1⊕x)⊕a,∴∀z∈S′,z⊕b=z⊕y−1⊕x⊕a=(z⊕y−1⊕x)⊕a ,注意到有 z⊕y−1⊕x∈S′,∴∀x∈S′b,x∈S′a,∀x∈S′a,x∈S′b,∴S′a=S′b
所以对于 S′ 的每一个陪集，大小必然与 |S′| 相等。而 ⋃x∈SS′x=S ，所以 |S′|∣∣|S| .
推论：
欧拉定理：考虑群 (Z∗n,∗ mod n), 由前面关于逆元的讨论可知，数列 {a0,a1,a2,...} 有循环节 |{a0,a1,a2,...}|=x,ax=1 ，且 ({a0,a1,a2,...},∗ mod n) 显然是一个子群，所以 x∣∣|Z∗n| ，即 x|ϕ(n) 。
五、轨道-稳定化子定理
我们考虑置换群G，其中每一个元素均是对M中元素的置换 f(x)=y(x,y∈M) ，则让M中元素x不变的置换显然构成了一个子群 stab(x)=({f∈G|f(x)=x},∗) ，我们称这个集合为x的稳定化子。
而x通过G中的置换能变成的元素集合我们称为x的轨道 orbit(x)={f(x)|f∈G} 。
那么其实显然，orbit(x)就是stab(x)的陪集数，类似上面我们对拉格朗日定理的证明，可以得到 |stab(x)||orbit(x)|=|G|
六、Burnside‘s引理
这个引理是用来求M中本质不同的元素个数，如果 ∃f∈G,f(x)=y ，则称x与y是本质相同的。所以就是求M中轨道数。
而M中轨道数可以这样写：
Burnside’s引理首先找到了轨道数与轨道长度之间的关系，然后通过轨道-稳定化子定理将其与G联系起来，然后改变枚举量。它是用来解决那种置换较少或较便于计算，元素情况比较复杂的问题。