[置顶] 组合数学之容斥原理

在组合数学中,容斥是常常被用到的,我们总用容斥求解一些带有条件的组合数。

  • 容斥原理:具有性质A和性质B的元素个数等同于具有性质A的个数和具有性质B的个数的和再减去同时具有性质A和性质B的元素的个数。
    数学公式表示为 |A∪B|=|A|+|B|-|A∩B|。
    图形表示为
    其中黄色区域就是我们所求。
    同样以此类推对于三个性质来说其数学公式为|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|A∩C|-|B∩C|+|A∩B∩C|
    为什么要加上最后那个呢?因为在减的过程中多减了一个。

  • 对于容斥原理来说比较常用的方法为递归法和二进制枚举法,二进制枚举的方法最大的好处是枚举出所有元素的子集。假设一个集合的元素有m个,则对于m长的二进制数来说就有m个1或0的位置,对于每一个1
    -就对应一个元素,整个二进制枚举完就是所有子集,从0到2^m就行。

  • 递归法则是利用dfs的思想进行搜索,检索每一种方案进行容斥。由于每一种题都有不同的搜索方法,没用统一的模板,就不弄代码了。

  • 在这其中都是奇数个性质加偶数个性质减,而如果所求的性质是相反的性质,则用总数减去。
  • 容斥原理开着简单,实际非常复杂,每一道题都用不同的性质容斥,但最终的思想是不变的,多做一些题就会慢慢积累经验最终由一个好的思想。

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