bzoj3170【TJOI2013】松鼠聚会

3170: [Tjoi 2013]松鼠聚会

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Description

有N个小松鼠，它们的家用一个点x,y表示，两个点的距离定义为：点(x,y)和它周围的8个点即上下左右四个点和对角的四个点，距离为1。现在N个松鼠要走到一个松鼠家去，求走过的最短距离。

Input

第一行给出数字N，表示有多少只小松鼠。0<=N<=10^5
下面N行，每行给出x,y表示其家的坐标。
-10^9<=x,y<=10^9

Output

表示为了聚会走的路程和最小为多少。

Sample Input

6
-4 -1
-1 -2
2 -4
0 2
0 3
5 -2

Sample Output

20

题目要求的是切比雪夫距离，但切比雪夫距离不好处理，我们考虑转化为曼哈顿距离。

切比雪夫距离与曼哈顿距离的转化：

A(x1,y1)与B(x2,y2)的切比雪夫距离等于A’(x1+y1,x1-y1)和B’(x2+y2,x2-y2)的曼哈顿距离。证明只需将两边同时平方，再稍加化简即可。

然后有了这个性质，我们就可以将每个点(x,y)的坐标转化为(x+y,x-y)，然后问题转化成n个点找一个点，使其到其余各点曼哈顿距离之和最小。横纵坐标分别维护前缀和就可以了。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#define F(i,j,n) for(int i=j;i<=n;i++)
#define D(i,j,n) for(int i=j;i>=n;i--)
#define ll long long
#define maxn 100005
#define inf 1000000000000000000ll
using namespace std;
int n,pos,x[maxn],y[maxn];
ll ans,tmp,sumx[maxn],sumy[maxn];
struct data{ll x,y;}a[maxn];
inline int read()
{
	int x=0,f=1;char ch=getchar();
	while (ch<'0'||ch>'9'){if (ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
	while (ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
	return x*f;
}
int main()
{
	n=read();
	F(i,1,n)
	{
		int xx=read(),yy=read();
		x[i]=a[i].x=xx+yy;
		y[i]=a[i].y=xx-yy;
	}
	sort(x+1,x+n+1);sort(y+1,y+n+1);
	F(i,1,n) sumx[i]=sumx[i-1]+x[i],sumy[i]=sumy[i-1]+y[i];
	ans=inf;
	F(i,1,n)
	{
		pos=lower_bound(x+1,x+n+1,a[i].x)-x;
		tmp=sumx[n]-sumx[pos]-a[i].x*(n-pos)+a[i].x*pos-sumx[pos];
		pos=lower_bound(y+1,y+n+1,a[i].y)-y;
		tmp+=sumy[n]-sumy[pos]-a[i].y*(n-pos)+a[i].y*pos-sumy[pos];
		ans=min(ans,tmp);
	}
	printf("%lld\n",ans/2);
	return 0;
}