陶哲轩实分析-第2章-从头开始：自然数

warning：个人笔记与习题解答，必然有很多错误！！
看完这一章，再看附录A，再回过头来看感觉容易理解多了
这一章与其说是学数学，不如说是学逻辑，重要的是抛弃所有以前的认识，从0开始
练习独孤九剑？

2.1 Peano公理

假设2.6
书中没有证明假设2.6，不知道为什么。
后来看了公理3.7，为假设2.6的一个更正式的形式，但是是“公理”

2.2 加法

公理2.5
看了这儿才知道，原来数学归纳法是公理，最基础的东西。

命题2.1.16
正如所说，这个命题定义了递归，通过一个函数，定义了n-> an
->前面的n就是普通自然数，->后面的 an 也满足自然数的5条公理，一个例子是后面定义2.2.1中提到的 fn(x)==x+3 ,这里，“ an ”中的“0”，也就是c，为3，0++=4，以此类推。

定义2.2.1
书中写“为使m加上零，我们定义0+m:=m”，这里想了半天，为什么不是定义m+0:=m，感觉如果翻译成把0加到m上（英文原文是to add zero to m），就好理解多了，看来得中英文版本对着看

定义2.2.1后面为什么：两个自然数的和仍然是自然数
对于n+m，m为自然数，对n归纳
0+m=m为自然数，假设n+m为自然数
(n++)+m = (n+m)++，根据公理2.2得证

引例2.2.3后面为什么：n++=n+1
引例2.2.3中带入m=0
n+(0++)=(n+0)++，根据(公理2.2中定义)0++=1，而n+0=n（引例2.2.2），故
n+1=n++

习题2.2

2.2.1(a+b)+c=a+(b+c)
对c归纳，保持a、b固定，对于c=0，显然
(a+b)+0=a+(b+0)
假定(a+b)+c=a+(b+c)
(a+b)+c++=((a+b)+c)++
a+(b+c++)=a+(b+c)++=(a+(b+c)++
上面2式就是归纳假定
2.2.2存在自然数b，使得b++=a
由于自然数只有0不是正数，可以设第一个正数为a=0++，这样对于a，有b=0满足b++=a，假设对于a，存在b++=a，则(b++)++=a++
2.2.3
(a) a=b => a≥a
(b)a=b+m, b=c+n则a=c+n+m=c+(n+m) => a≥c
(c)a=b+m, b=a+n则a=a+n+m=a+(n+m)
由于a=a+0，所以n+m=0，根据推论2.2.9，m=0, n=0，所以a=b
(d)=>
对c归纳，c=0的情况就是前提 a≥b ，假设c成立 a+c≥b+c , 即a+c=b+c+m，这样，
b+(c++)+m = 引理2.2.3
(b+c)++ +m = 加法定义
((b+c)+m)++ = 归纳假定
(a+c)++
而a+c++ = (a+c)++ 引理2.2.3
<=
由于a+c=b+c+m=b+m+c，根据命题2.2.6得出a=b+m，所以 a≥b
(f) 把(f)放在(e)前面，因为(e)要用到(f)，不知道是不是理解有错
=>
a < b，所以a+m=b且a不等于b，如果m=0，则a=b，矛盾，所以m为正的
<=
b=a+d => b≥a , 如果a=b则d=0，与d为正的矛盾，所以a < b
(e) =>
a < b，所以a+m=b，其中m为正的，所以存在自然数n使得n++=m，所以a+n++=b，而a+n++=a++ +n =(a+n)++=b，所以 a++≤b
<=
a++≤b 则a++ +m=b，所以a+m++=b，所以a+n=b
其中n=m++为正的，根据(f)得出a < b
2.2.4
1）a=0，则 0≤b
因为0+b=b
2）a>b则a++>b
a=b+c
a++=(b+c)++=b+c++，c++为正的，所以a++>b
3）a=b则a++>b
a++=a+1所以a++>a=b
2.2.5根据提示，定义Q(n)为”P(m)对于一切 m0≤m<n 成立”
Q(0)显然成立
假设Q(n)成立
分3种情况
如果 n<m0 , 则 n+1≤m0 , 所以Q(n+1）成立（此处感觉Q(n)应该对于所有 n≤m0 都成立，而不是提示中的小于，不知道是否理解有误）
如果 n=m0 ，由于 P(m0) 成立，所以 Q(m0+1) 成立，即Q(n+1)成立
如果 n>m0 ，Q(n)成立则说明P(n)成立，也就是Q(n+1)成立
上面n等于和大于 m0 的情况可以合并说明
2.2.6
对n=0，满足 m≤n 的m只有0，显然P(m)成立
假设对于n，对于所有 m≤n ，P(m)成立
对于n++，P(n)成立，根据假设，对于所有 m≤n ，P(m)成立，也就是所有 m≤n++ 的m成立，即P(n++)成立

2.3 乘法

习题2.3
2.3.1 nxm=mxn
仿照引理2.2.2，证明nx0=0，对n归纳
仿照引理2.2.3，证明nx(m++)=(nxm)+n
保持m固定，对n归纳，对于n=0，根据乘法定义，0x(m++)=(0xm)+n，左右两边都等于0
归纳假定nx(m++)=(nxm)+n，则(n++)x(m++)=nx(m++)+m++=nxm+n+m++=nxm+n+m+1
(n++)xm+n++=nxm+m+n++=nxm+m+n+1
上面证明用到了nx(m++)=nxm+n，可以确定m对n归纳证明
对于0，显然等式两边都等于0，归纳假定nx(m++)=nxm+n，则
(n++)x(m++)= 乘法定义
nx(m++)+m++= 归纳假定
nxm+n+m++=
nxm+m+n++= 乘法定义
(n++)xm+n++，证明完成
最后仿照引理2.2.4做最后的证明nxm=mxn
保持m固定，对n归纳，首先考虑0xm=mx0，由于nx0=0，两边都等于0
归纳假定nxm=mxn，需要证明(n++)xm=mx(n++)
(n++)xm=nxm+m
mx(n++)=(mxn)+m=归纳假定
(nxm)+m = (n++)xm
2.3.2 nxm=0 <=> n、m至少有一个为0
=>
反证法，假设n正且m正，可以归纳证明nxm为正，与nxm=0矛盾
<=
若n=0，根据乘法定义nxm=0，若m=0，根据交换律nxm=0
若n、m都是正的，则nm也是正的
后面n、m正=>nm正为引例的直接结论
这道题没明白为啥提示先证第二个命题，是否我证明有误？
2.3.3(axb)xc=ax(bxc)
选定a、b，归纳c
对于c=0
(axb)x0=0
ax(bx0)=ax0=0
归纳假定(axb)xc=ax(bxc)
(axb)xc++=(c++)x(axb)=cx(axb)+(axb)
ax(bxc++)=ax(c++xb)=ax(cxb+b)=ax(bxc)+axb，证毕
2.3.4比较简单
(a+b)x(a+b)=(a+b)xa+(a+b)xb=ax(a+b)+bx(a+b)=axa+axb+bxa+bxb
= a2+2ab+b2
2.3.5根据提示，固定q，对n归纳
对于n=0，0=0q+0
归纳假定n=mq+r
则n++=n+1=mq+r+1=mq+r++
由于 0≤r<q ， r++≤q ，（命题2.2.12e），如果0 < r++ < q，则证明完毕
如果r++=q，则n++=mq+q=(m++)q+0，证明完毕