[SAM]后缀自动机

定义

一个串S的后缀自动机是一个有限状态自动机，它能且只能接受所有S的后缀，并且拥有最少的状态和转移

构造

几个定义

定义后缀自动机的母串为S，令S[l, r]表示S中第l个字符到第r个字符组成的子串，令从第i个位置开始的后缀为 sufi ，到第i个位置结束的前缀为 prei
令 SAMstr 表示从初始状态读入字符串str之后的状态
对于一个S的一个子串str，令 rightstr 表示str在S中每一次出现的右端点位置组成的集合

复杂度证明

状态数线性
考虑一个串str，若str是S的一个子串，那么 SAMstr 应该是一个合法状态，因为我们可以在str后添加若干字符来变成S的一个后缀，这个后缀应该被自动机接受，否则如果str不是S的子串，那么 SAMstr 应该是一个不合法的状态，因为无论怎样添加字符它也不会变成S的一个后缀
也就是说，对于S的每一个子串str，都应该在SAM中找到对应的状态，这样来看，SAM的状态应该是 O(n2) 的
这时候，我们考虑一个子串str，如果 rightstr 和 righta+str 完全一致，我们就可以把它们合并成同一个状态，因为我们从这两个后缀开始添加字符，得到的后缀是一样的，因此这两个串在SAM中本质相同，可以合并为一个结点
我们继续考虑S的两个子串A和B，如果 rightA 和 rightB 有交，那么一个串必然是另一个串的后缀，也就意味着对于S任意两个子串，它们的 right 集合要么没有交集，要么一个包含另一个，我们令一个状态s的父状态 fas 为满足right集合包含s且right集合大小最小的状态，那么所有状态会形成一个树结构
显然初始态的right集合是1~n的所有整数，所有叶子结点的集合大小为1，也就是说叶节点个数 O(n) ，一个非叶子结点至少有两个儿子，因此后缀自动机的状态数是 O(n) 的
转移数线性
考虑SAM的一个从初始结点开始的树形图，显然树形图上边的数量是 O(n) 的，而对于一个非树边u->v来说，我们从初始状态->u->v->end，可以找到一个后缀，对于每一个后缀，我们将它对应于它经过的第一条非树边，那么所有非树边都会被覆盖，因此后缀自动机的转移数是 O(n) 的

构造算法

我们采取增量法来构造SAM
对于每个状态s，记它代表的最长子串的长度为 lens
考虑我们已经有了前LEN-1个字符的后缀自动机，现在自动机中串S[1,LEN-1]位与状态last，现在加入第LEN个字符c，那么我们新建一个状态np，令np=LEN
之后考虑更新转移边，显然我们应该加入一个last->np的转移，一个 falast−>np 的转移，直到我们发现这个状态已经有了一个字符c的转移，不妨设这个状态是p，设它经过字符c的转移后的状态为q
这时q的表示的字符串集合中需要增加一个右端点为LEN，长度为len_{p}+1的串，但这时候我们不能直接把np挂在q的下面
对于q中长度不超过 lenp+1的串 来说，它们的right集合中会多出一个LEN，而对于长度大于 lenp+1 的串来说，它们的right集合不变，因此我们分裂出一个新的状态 nq ，代表q中长度不超过 lenp+1 的串，right集合为 rightq+len ，其它属性与原q点一致（fa和转移），这样q和np的right集合就都包含与nq中了，于是我们令 faq=fanp=nq
再从p开始，如果p的c字符转移到的是点q，现在转移到nq，如果 fap 的c字符转移到的是点q，那么它现在转移到nq……直到发现当前结点转移到的不是q为止

基本性质

性质一
每个状态s表示的串的长度的区间是( lenfa,lens )

性质二
每个状态s表示的所有串在原串中的出现次数以及每次出现的右端点相同

性质三
在parent树中，每个状态的right集合是它的父状态的right集合的子集

right集合

要求right集合，只要把 prei 所在的结点的right集合设成 i 再按bfs的逆序将每个状态的right集合并入它父亲的right集合即可，可以使用平衡树来维护，合并时采取启发式合并

Parent树

性质四
后缀自动机的parent树是原串的反串的后缀树
（后缀树就是把一个子串的后缀插入Trie中把不分支的链合并）
这个性质比较显然，考虑一个前缀在自动机上的状态，每次沿着fa指针走，每次会变成当前串的一个后缀，直到空串，相当于在反串的后缀树上从上往下走
求出初始串的反串的后缀自动机，它的parent树就是原串的后缀树
对后缀树dfs序就可以求出后缀数组