中国剩余定理

求同余线性方程组
X≡a1(mod m1)
X≡a2(mod m2)
......
X≡ak(mod mk)
的解。
令 M=m1m2...mk ，若 m1,m2...mk 两两互质，则同余方程组在 [0,M) 有唯一解。该解可以以如下方法构造。
令

Mi=M/mi(i∈[1,k])

因为 (Mi,mi)=1 ，根据裴蜀定理，有二整数 pi,qi 满足

Mipi+miqi=1

所以 Mipi≡1(mod mi)
若 a≡a1,b≡b1(mod c) ，有 a+b≡a1+b1,ab≡a1b1(mod c)
所以

aiMipi≡ai∗1≡ai(mod mi)

对于 j∈[1,k],j≠i ，因为 mi|Mj ，所以也有

ajMjpj≡0(mod mi)

结合起来有

∑i=1kaiMipi=aiMipi+∑j≠iajMjpj≡ai+0≡ai(mod mi)

这就说明 X=∑ki=1aiMipi 就是一个解。而多个解之间必然相差 M 的整数倍，所以在 [0,M) 有唯一解。