背包问题
原文链接： javacodegeeks 翻译： ImportNew.com - hejiani
译文链接： http://www.importnew.com/13072.html
背包问题
问题
假定背包的最大容量为W，N件物品，每件物品都有自己的价值和重量，将物品放入背包中使得背包内物品的总价值最大。
背包问题wiki
可以想象这样一个场景——小偷在屋子里偷东西，他带着一只背包。屋子里物品数量有限——每件物品都具有一定的重量和价值——珠宝重量轻但价值高，桌子重但价值低。最重要的是小偷背包容量有限。很明显，他不能把桌子分成两份或者带走珠宝的3/4。对于一件物品他只能选择带走或者不带走。
示例：
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4
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Knapsack Max weight : W =
10
(units)
Total items : N =
4
Values of items : v[] = {
10
,
40
,
30
,
50
}
Weight of items : w[] = {
5
,
4
,
6
,
3
}
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从示例数据大致估算一下，最大重量为10时背包能容纳的物品最大价值为50+40=90，重量为7。
解决方法：
最佳的解决方法是使用动态规划——先得到该问题的局部解然后扩展到全局问题解。
构建物品X在不同重量时的价值数组V(Value数组)：
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1
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V[N][W] =
4
rows *
10
columns
|
该矩阵中的每个值的求解都代表一个更小的背包问题。
初始情况一：对于第0列，它的含义是背包的容量为0。此时物品的价值呢？没有。因此，第一列都填入0。
初始情况二：对于第0行，它的含义是屋内没有物品。那么没有任何物品的背包里的价值多少呢？还是没有！所有都是0。
步骤：
1、现在，开始填入数组每一行的值。第1行第1列代表什么含义呢？对于第一个物品，可以把重量为1的该物品放入背包吗？不行。第一个物品的重量是5。因此，填入0。实际上直到第5列（重量5）之前都应该填入0。
2、对于第1行的第5列（重量5），意味着将物品1放入背包。填入10（注意，这是Value数组）：
3、继续，对于第6列，我们可以再放入重量为1（重量值-物品的重量）的物品吗。我们现在只考虑物品1。由于我们加入物品1之后就不能再加入额外的重量，可以很直观地看到其余的列都应该还是相同的值。
4、接着，有意思的事情就要出现了。在第3行第4列，此时重量为4。
需要作以下判断：
- 可以放入物品2吗——可以。物品2的重量为4。
- 不加入物品2的话当前已有物品的重量的Value值是否更大——查看相同重量时的前一行的值。不是。前一行的值为0，重量4时不能放入物品1。
- 在这个重量时可以放入两件物品使得价值最大吗？——不能。此时重量减去物品2的重量后为0。
为什么是前一行？
简单来说，重量为4的前一行的值本身就是个更小的背包问题解，它的含义是到该重量时背包内物品的最大价值（通过遍历物品得到）。
举个例子：
- 当前物品价值 = 40
- 当前物品重量 = 4
- 剩余重量 = 4-4 = 0
- 查看上面的行（物品1或者其余行的值）。剩余容量为0时，可以再容纳物品1吗？对于该给定的重量值上面的行还有任何值吗？
计算过程如下：
1) 计算不放入该物品时该重量的最大价值：
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1
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3
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previous row, same weight =
0
=> V[item-
1
][weight]
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2) 计算当前物品的价值 + 可以容纳的剩余重量的价值
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1
2
3
4
|
Value of current item
+ value in previous row with weight
4
(total weight until now (
4
) - weight of the current item (
4
))
=> val[item-
1
] + V[item-
1
][weight-wt[item-
1
]]
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找到二者之中的最大值40（0和40）。
3) 下一次最重要的位置为第2行第9列。意味着此时重量为9，放入两件物品。根据示例数据现在可以放入两件物品。我们作了以下判断：
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1
2
3
4
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1. The value of the current item = 40
2. The weight of the current item = 4
3. The weight that is left over = 9 - 4 = 5
4. Check the row above. At the remaining weight 5, are we able to accommodate Item 1.
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计算如下：
- 不加入该物品时该重量的最大价值：
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1
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previous row, same weight = 10
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- 计算当前物品的价值+可以容纳的剩余重量的价值
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1
2
3
4
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Value of current item (40)
+ value in previous row with weight 5 (total weight until now (9) - weight of the current item (4))
= 10
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10vs50 = 50。
解决了所有的子问题之后，返回V[N][W]的值——4件物品重量为10时：
复杂度
解法的复杂度非常直观。在N次循环中有W次循环 => O(NW)
实现
Java代码实现：
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class
Knapsack {
public
static
void
main(String[] args)
throws
Exception {
int
val[] = {
10
,
40
,
30
,
50
};
int
wt[] = {
5
,
4
,
6
,
3
};
int
W =
10
;
System.out.println(knapsack(val, wt, W));
}
public
static
int
knapsack(
int
val[],
int
wt[],
int
W) {
//Get the total number of items.
//Could be wt.length or val.length. Doesn't matter
int
N = wt.length;
//Create a matrix.
//Items are in rows and weight at in columns +1 on each side
int
[][] V =
new
int
[N +
1
][W +
1
];
//What if the knapsack's capacity is 0 - Set
//all columns at row 0 to be 0
for
(
int
col =
0
; col <= W; col++) {
V[
0
][col] =
0
;
}
//What if there are no items at home.
//Fill the first row with 0
for
(
int
row =
0
; row <= N; row++) {
V[row][
0
] =
0
;
}
for
(
int
item=
1
;item<=N;item++){
//Let's fill the values row by row
for
(
int
weight=
1
;weight<=W;weight++){
//Is the current items weight less
//than or equal to running weight
if
(wt[item-
1
]<=weight){
//Given a weight, check if the value of the current
//item + value of the item that we could afford
//with the remaining weight is greater than the value
//without the current item itself
V[item][weight]=Math.max (val[item-
1
]+V[item-
1
][weight-wt[item-
1
]], V[item-
1
][weight]);
}
else
{
//If the current item's weight is more than the
//running weight, just carry forward the value
//without the current item
V[item][weight]=V[item-
1
][weight];
}
}
}
//Printing the matrix
for
(
int
[] rows : V) {
for
(
int
col : rows) {
System.out.format(
"%5d"
, col);
}
System.out.println();
}
return
V[N][W];
}
}
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