卡特兰数-Catalan number

    卡特兰数（Catalan number）是组合问题中经常出现的一个数列，它的定义是：

        （1）.f(0)=1,f(1)=1；

        （2）.f(n)=f(0)*f(n-1)+f(1)*f(n-2)+......+f(n-2)*f(1)+f(n-1)*f(0);即从第三项开始，每一项都是前面已有数列首尾相对的积的和，重复的也计算在内。

        它的前101项的值为（下标从0开始）：

f(0)=1
f(1)=1
f(2)=2
f(3)=5
f(4)=14
f(5)=42
f(6)=132
f(7)=429
f(8)=1430
f(9)=4862
f(10)=16796
f(11)=58786
f(12)=208012
f(13)=742900
f(14)=2674440
f(15)=9694845
f(16)=35357670
f(17)=129644790
f(18)=477638700
f(19)=1767263190
f(20)=6564120420
f(21)=24466267020
f(22)=91482563640
f(23)=343059613650
f(24)=1289904147324
f(25)=4861946401452
f(26)=18367353072152
f(27)=69533550916004
f(28)=263747951750360
f(29)=1002242216651368
f(30)=3814986502092304
f(31)=14544636039226909
f(32)=55534064877048198
f(33)=212336130412243110
f(34)=812944042149730764
f(35)=3116285494907301262
f(36)=11959798385860453492
f(37)=45950804324621742364
f(38)=176733862787006701400
f(39)=680425371729975800390
f(40)=2622127042276492108820
f(41)=10113918591637898134020
f(42)=39044429911904443959240
f(43)=150853479205085351660700
f(44)=583300119592996693088040
f(45)=2257117854077248073253720
f(46)=8740328711533173390046320
f(47)=33868773757191046886429490
f(48)=131327898242169365477991900
f(49)=509552245179617138054608572
f(50)=1978261657756160653623774456
f(51)=7684785670514316385230816156
f(52)=29869166945772625950142417512
f(53)=116157871455782434250553845880
f(54)=451959718027953471447609509424
f(55)=1759414616608818870992479875972
f(56)=6852456927844873497549658464312
f(57)=26700952856774851904245220912664
f(58)=104088460289122304033498318812080
f(59)=405944995127576985730643443367112
f(60)=1583850964596120042686772779038896
f(61)=6182127958584855650487080847216336
f(62)=24139737743045626825711458546273312
f(63)=94295850558771979787935384946380125
f(64)=368479169875816659479009042713546950
f(65)=1440418573150919668872489894243865350
f(66)=5632681584560312734993915705849145100
f(67)=22033725021956517463358552614056949950
f(68)=86218923998960285726185640663701108500
f(69)=337485502510215975556783793455058624700
f(70)=1321422108420282270489942177190229544600
f(71)=5175569924646105559418940193995065716350
f(72)=20276890389709399862928998568254641025700
f(73)=79463489365077377841208237632349268884500
f(74)=311496878311103321137536291518809134027240
f(75)=1221395654430378811828760722007962130791020
f(76)=4790408930363303911328386208394864461024520
f(77)=18793142726809884575211361279087545193250040
f(78)=73745243611532458459690151854647329239335600
f(79)=289450081175264899454283846029490767264392230
f(80)=1136359577947336271931632877004667456667613940
f(81)=4462290049988320482463241297506133183499654740
f(82)=17526585015616776834735140517915655636396234280
f(83)=68854441132780194707888052034668647142985206100
f(84)=270557451039395118028642463289168566420671280440
f(85)=1063353702922273835973036658043476458723103404520
f(86)=4180080073556524734514695828170907458428751314320
f(87)=16435314834665426797069144960762886143367590394940
f(88)=64633260585762914370496637486146181462681535261000
f(89)=254224158304000796523953440778841647086547372026600
f(90)=1000134600800354781929399250536541864362461089950800
f(91)=3935312233584004685417853572763349509774031680023800
f(92)=15487357822491889407128326963778343232013931127835600
f(93)=60960876535340415751462563580829648891969728907438000
f(94)=239993345518077005168915776623476723006280827488229600
f(95)=944973797977428207852605870454939596837230758234904050
f(96)=3721443204405954385563870541379246659709506697378694300
f(97)=14657929356129575437016877846657032761712954950899755100
f(98)=57743358069601357782187700608042856334020731624756611000
f(99)=227508830794229349661819540395688853956041682601541047340
f(100)=896519947090131496687170070074100632420837521538745909320

    用Java的大数据类（java.math里面的BigInteger类）可以计算到卡特兰数的最大项为第7780项（左右），再大所需时间就比较长或者无法显示，计算的代码为：

package test.com;

import java.math.BigInteger;
import java.util.*;
public class Main {
	public static void main(String[] args){
		Scanner input=new Scanner(System.in);
		BigInteger a=new BigInteger("1");
		BigInteger b=new BigInteger("2");
		BigInteger c=new BigInteger("4");
		BigInteger d=new BigInteger("1");
		BigInteger ans[]=new BigInteger[10005];
		ans[0]=a;
		ans[1]=a;
		for(int i=2;i<=7780;i++){
			d=d.add(a);
			ans[i]=ans[i-1].multiply(c.multiply(d).subtract(b)).divide(d.add(a));
		}
		//数据已经存在了数组ans[i]中，可直接调用
	}
}

    卡特兰数递推公式除了定义的方式之外有以下几种：

        （1）f(n)=f(n-1)*(4*n-2)/(n+1);

        （2）f(n)=C(2*n,n)/(n+1);

        （3）f(n)=C(2*n,n)-C(2*n,n-1);

    为了熟练掌握卡特兰数，弄懂上面的三个公式是非常有必要的，只有弄懂这些公式求值的规律，我们才能在做题的过程中理清楚题意列出来公式以后惊喜地发现，哎这不就是卡特兰数吗直接用吧，或者可以把其中一部分组合内容转化为卡特兰数，如果连这些公式都没有推清楚的话，恐怕除了这几个超级典型的问题其它的需要用到卡特兰数的问题放在面前也根本想不到这里来。当然从以下几个经典题目中理解总结也是比较合适的。

    第一个公式是由前一项来推出下一项的值，是前一项的值乘以(4*n-2)/(n+1)

    第二第三个公式是结合了组合数，而且可以很容易的互推。

    卡特兰数解决的经典问题

    之后几篇博客分别是卡特兰数解决的经典问题

        （1）.凸多边形的三角形剖分数目问题。

        （2）.出栈不同顺序的种类问题。

        （3）.括号化问题。

        （4）.给定结点数目二叉树的形态数目。

        （5）.不穿越对角线走到方格对角的路径数目。

    扩展：

        （1）排队买票问题。

        （2)沙子问题（=-=）

    唉，写不动了，这些问题明天仔细研究研究再写好了，马上就到2016年啦，亲们2016新年快乐~~~