序关系计数问题

序关系计数问题
问题描述:
用关系“<”和“=”将3 个数A、B和C依序排列时有13 种不同的序关系:
A=B=C,A=B<C,A<B=C,A<B<C,A<C<B,A=C<B,B<A=C,B<A<C,B<C<A,
B=C<A,C<A=B,C<A<B,C<B<A。
将n 个数(1 <= n <=50)依序排列时有多少种序关系。


设n个数可列出的关系式的个数为g(n), 下面我们设法总结规律找出g(n)的递推关系:
对于一个关系式@
a1@a2@a3....@an
其中@表示 < 或 =,总存在一个k, 使a1, a2, ...ak,之间均用"="连接,即
a1=a2=a3...=ak<ak+1@...@an
根据组合定义,从n个对象中选出k个组成关系式 a1=a2=a3...=ak,相当于在n个数中
选取k个组合,因此关系式a1=a2=...=ak 的可能组合形式有C(n,k), 而ak+1@...@an
的可能形式有g(n-k)种, 因此得出g(n)的递推公式为

g(n)=∑C(n,k)*g(n-k)   k from 1 to n
g(0)=1
计算C(n,k)可用两重循环加组合的基本公式:C(n,k)=C(n-1,k-1)+C(n-1,k)
算法在初始化部分计算出C(n,k),存放在表中。
参考算法:

 

  int  Orderings(n)
 
{
  
for i=1 to n
  
{
    c[i][
0]=c[i][i]=1;
    
for(j=1 to i-1)
     c[i][j]
=c[i-1][j-1]+c[i-1][j];
  }
    
g[
0]=1;
for(i=1 to n)
{
   g[i]
=0;
    
for(j=1 to i)
      g[i]
+=c[i][j]*g[i-j];
}
    
return g[n];
}

算法改进:上述算法显然需要O(N^2)的空间复杂度

若用A[i,j]表示用j个"<"号连接i个数时产生的不用序关系数,并约定当j>i-1时,
A[i,j]=0,显然我们有A[i,0]=1,i=1~n。
当用j个"<"号来连接i个数时,具有如下的形式:
S1 < S2 < ...... < Sj+1
Sk(1≤k≤j+1) 中的各数用等号"="连接。
对于A[i,j],考虑在i-1个数的基础上增加一个数的情形。 新增加的数x可以在上式
Sk(1≤k≤j+1) 中任何一个中, 当x∈Sk,且i-1个数时已有j个"<"号,此时产生的不

同的序关系为A[i-1,j]; 当i-1个数时只有j-1个"<"号时, Sk={x},且新增一个"<"号

,此时的不同序关序有A[i-1,j-1]。因此,x∈Sk时产生的不同序关系为
A[i-1,j-1]+A[i-1,j]。 由于x∈Sk(1≤k≤j+1),共有j+1种不同的情形,因此,产生

的所有不同序关系为:
A[i,j]=(j+1)(A[i-1,j-1]+A[i-1,j])
经过简化后的递归式在计算A[i,j]时只用到第i-1行中的2个数,因此只要保存第i-1行

的数据就可以了。

 

int  Orderings( int  n)
{
    A[
0]=1;
    
for(int j=1;j<=n-1;j++)
      A[j]
=0;
    
for(int i=2;i<=n;i++)
     
for(int j=i-1;j>=1;j--)
      A[j]
=(j+1)*(A[j-1]+A[j]);
    
int total=0;
    
for(int j=0;j<=n-1;j++)
     total
+=A[j];
 
return total;
}
    

 

修改后的算法只需要O(n)空间和O(n^2)计算时间

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