离散数学第二章【给广大不认真学习学生的福利贴】

第二章：逻辑

2.1命题和逻辑运算；

命题：为真或者未假 不能两者同时成立的陈述句

 

P是一个命题，~P/非P就是命题P的否定；

 

真值表：(其实一想就知道，非真即假，非假即真)

P	~P
T	F
F	T

 

若P和q是命题，那么他们的合取是一个复合命题：”P且q”，用p/\q表示；（其实就是且，长得也像且）

真值表：

p	q	p\/q
T	T	T
T	F	F
F	T	F
F	F	F

 

 

若P和q是命题，那么他们的析取是一个复合命题：”P或q”，用p\/q表示

真值表：

p	q	p/\q
T	T	T
T	F	T
F	T	T
F	F	F

 

利用真值表做一个题目：

(p\/q ) \/ (~p)

参见课本P58例五。

 

命题函数：一个被定义的集合，这个集合的所有元素都有共同的性质P(X)；

全称量化：对于所有的x的值，p（x）为真；

全称量词：对于所有（\-/）、存在 （反E）  这些英文符号。

那么对 结合全称量化的定义：可以写成 \-/xp(x);

存在量化：也就是（反E）xp(x)

 

基于这些我们可以写一些简洁的命题，或者翻译成文字命题

 

 

2.2:条件命题

 

条件命题==蕴含:

如果我们说  有蕴含“如果今天下雨，明天会下雨”如下，等同于有命题“如果今天下雨，明天会下雨”如下

他们基本模样：如果p,那么q；用 p=>q表示

p是前项或者假设

q是后项或者结论

 

逆：p=>q的逆就是q=>p;~p=>~q的逆就是q=>p的逆否命题

 

基于这样我们又会从p和q的真假，去推出p=>q的真假【基本】

P	Q	P=>q
T	T	T
T	F	F
F	T	T
F	F	T

 

 

重言式：对于命题的变量一定为真；

矛盾/谬论：。。。。。。。。。。。。。。。一定为假

不定式：。。。。。。。。。。。。。。或真或假；

逻辑等价：<=>

 

和前面一小节的（合取）且和（析取）或结合一下：

【看真值表，以下定理运用真值表，对应一下，满足就是恒等于】

1.（p=>q）恒等于（（~p）\/q）

2.（p=>q）恒等于（~q=>~p）

3. ( p<=>q)恒等于（（p=>q）/\(q=>p)）

4. ~(p=>q)恒等于（p/\~q）

5. ~(p<=>q)恒等于（p/\~q）\/(q/\~p)

具体定理1  P65：

交换性质，结合性质，幂等性质，否定性质

 

 

2.3:证明方法；

 

如果p=>q是重言式，那么从p逻辑上得到q

 

(p1/\p2/\p3/\pn)=>q，那么从p1/\,p2/\,p3/\.../\pn逻辑上得到q

 

记为：

P1

P2

P3

…

Pn

所以q

 

间接方法

p=>q

q=>r

所以p=>r

 

P

P=>q

所以q

 

反证法:

P=>q

~q

所以~P

 

主要的证明还是用到前面的真值表基础，然后合理地推出；

练习P7517,19,31

 

 

2.4：数学归纳法

 

如果对于k>=n0有p（k）为真，那么p（k+1）也为真。于是n>=n0,p(n)为真，

这种方法叫做数学归纳法

 

证明的基本步骤：

1.     找到n0

2.     证明p（n0）为真；

3.     对于k>=n0,如果p（k）为真，那么p（k+1）也是真，那么就去证明p（k+1）为真就好了

 

训练P75 例5，例6，例7

 

 

2.5数学命题；

有一个布尔矩阵，

(A/\(B\/C))=(A/\B)\/(A/\C)

 

最好每部分就是例题过一遍；