编辑距离

题目

51NOD1183
给定两个字符串S和T,对于T我们允许三种操作:

(1) 在任意位置添加任意字符
(2) 删除存在的任意字符
(3) 修改任意字符

问最少操作多少次可以把字符串T变成S?

例如: S= “ABCF” T = “DBFG”

那么我们可以

(1) 把D改为A
(2) 删掉G
(3) 加入C

所以答案是3。

分析: 这个最少的操作次数,通常被称之为编辑距离。“编辑距离”一次本身具有最短的意思在里面。因为题目有“最短”这样的关键词,首先我们想到的是BFS。是的,当S的距离为m, T的距离为n的时候,我们可以找到这样的操作次数的界限:

(1) 把T中字符全删了,再添加S的全部字符,操作次数m + n。
(2) 把T中字符删或加成m个,再修改 操作次数最多 |n – m| + m。

虽然,我们找到了这样的上界,BFS从实际角度并不可行,因为搜索空间是指数的,这取决于S中的字符种类——具体的数量级不好估计。
这个问题之所以难,是难在有“添加”“删除”这样的操作,很麻烦。我们试试换个角度理解问题,把它看成字符串对齐的问题,事实上从生物信息学对比基因的角度,我们可以这样理解问题。

给定字符串S和T,我们可以用一种特殊字符促成两个字符串的对齐。我们加的特殊字符是“-”, 我们允许在S和T中任意添加这种特殊字符使得它长度相同,然后让这两个串“对齐”,最终两个串相同位置出现了不同字符,就扣1分,我们要使得这两个串对齐扣分尽量少。

对于例子 我们实际上采取了这样的对齐方式:

12345
ABCF-
DB-FG

注意:如果要对齐,两个“-”相对是没有意义的,所以我们要求不出现这种情况。
那么看一下:
(1) S,T对应位置都是普通字符,相同,则不扣分。 例如位置2,4
(2) S,T对应位置都是普通字符,不同,则扣1分。 例如位置1
(3) S在该位置是特殊字符,T在该位置是普通字符,则扣1分,例如位置5
(4) S在该位置是普通字符,T在该位置是特殊字符,则扣1分,例如位置3

我们来看看扣分项目对应什么?

(1) 不扣分,直接对应
(2) 对应把T中对应位置的字符修改
(3) 对应在T中删除该字符
(4) 对应在T中添加该字符

好了,目标明确,感觉像不像 LCS?我们尝试一下:
设f(i,j)表示S的前i位和T的前j位对齐后的最少扣分。

那我们来看看最后一位,对齐的情况

(1) 必须S[i] == T[j], 这时前i – 1和j – 1位都已经对齐了,这部分肯定要最少扣分。这种情况下最少的扣分是f(i-1,j-1)
(2) 和(1)类似,S[i]≠T[j],这种情况下最少的扣分是f(i -1, j – 1) + 1
(3) S的前i位和T的前(j – 1)位已经对齐了,这部分扣分也要最少。这种情况下最少的扣分是f(i,j-1) + 1
(4) S的前(i-1)位已经和T的前j位对齐了,这部分扣分要最少。这种情况下最少的扣分是f(i,j-1) + 1

具体f(i,j)取什么值,显然是要看哪种情况的扣分最少。
为了方便,我们定义函数same(i,j)表示如果S[i] == T[j]则为0,否则为1。

我们来表示一下递推式:

f(i,j) = min(f(i – 1, j – 1) + same(i,j), f(i – 1,j ) + 1, f(i, j – 1) + 1)

初值是什么?

f(0, j) = j
f(i, 0) = i

这时因为对于S的前0位,我们只能在之前加入“-”,或者说把T全部删掉了。类似地,对于T地前0位,我们只能把S的字符都加进来,别无选择。
注意上述两个式子的重合点 f(0,0) = 0也符合我们的定义,并不矛盾。

时间复杂度? O(m * n),空间复杂度? O(m * n)。同样我们发现到f(i,j)只与本行和上一行有关,可以省掉一维的空间复杂度,从而达到O(n)。
优化后的伪代码:

for j = 0 to n do
f[j] = j
endfor
for i = 1 to m do
last = f[0]
f[0] = i
for j = 1 to n do
temp = f[i,j]
f[i,j] = min(last + same(i,j), temp + 1, f[j – 1] + 1)
last = temp
endfor
endfor

注意: 我们对于i实际上更新j的顺序是由小到达的,所以我们需要保存“旧的”f[i-1,j – 1]。
最后,我们来提供输入输出数据,由你来写一段程序,实现这个算法,只有写出了正确的程序,才能继续后面的课程。

输入

第1行:字符串a(a的长度 <= 1000)。
第2行:字符串b(b的长度 <= 1000)。

输出

输出a和b的编辑距离

输入示例

kitten
sitting

输出示例

3

AC代码

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;

int dp[1001][1001];
char s[1001],t[1001];
int same(int i,int j)
{
    if(s[i]==t[j])return 0;
    else return 1;
}
int main()
{
    scanf("%s",s);
    scanf("%s",t);
    int len_s=strlen(s);
    int len_t=strlen(t);
    for(int j=0;j<=len_s;j++){
        dp[0][j]=j;
    }
    for(int i=1;i<=len_t;i++){
        dp[i][0]=i;
        for(int j=1;j<=len_s;j++){
            dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+same(i-1,j-1);
            if(dp[i-1][j]+1<dp[i][j])dp[i][j]=dp[i-1][j]+1;
            if(dp[i][j-1]+1<dp[i][j])dp[i][j]=dp[i][j-1]+1;
        }
    }
    cout<<dp[len_t][len_s]<<endl;
    return 0;
}

疑惑点

什么题。。。OJ有病吗?
就一水题,害得我捣鼓好长时间。
读者可以尝试一下,把dp数组开到main函数内,就显示runtime error!

WHY!
WHY!
WHY!

求大神解答?

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