整数划分

整数划分问题是算法中的一个经典命题之一，有关这个问题的讲述在讲解到递归时基本都将涉及。所谓整数划分，是指把一个正整数n写成如下形式：
       n=m1+m2+...+mi; （其中mi为正整数，并且1 <= mi <= n），则{m1,m2,...,mi}为n的一个划分。
       如果{m1,m2,...,mi}中的最大值不超过m，即max(m1,m2,...,mi)<=m，则称它属于n的一个m划分。这里我们记n的m划分的个数为f(n,m);
       例如当n=4时，他有5个划分，{4},{3,1},{2,2},{2,1,1},{1,1,1,1};
       注意4=1+3 和 4=3+1被认为是同一个划分。
       该问题是求出n的所有划分个数，即f(n, n)。下面我们考虑求f(n,m)的方法;
1.递归法：
       根据n和m的关系，考虑以下几种情况：
        （1）当n=1时，不论m的值为多少（m>0)，只有一种划分即{1};
        (2) 当m=1时，不论n的值为多少，只有一种划分即n个1，{1,1,1,...,1};
        (3) 当n=m时，根据划分中是否包含n，可以分为两种情况：
              (a). 划分中包含n的情况，只有一个即{n}；
              (b). 划分中不包含n的情况，这时划分中最大的数字也一定比n小，即n的所有(n-1)划分。
              因此 f(n,n) =1 + f(n,n-1);
        (4) 当n<m时，由于划分中不可能出现负数，因此就相当于f(n,n);
        (5) 但n>m时，根据划分中是否包含最大值m，可以分为两种情况：
               (a). 划分中包含m的情况，即{m, {x1,x2,...xi}}, 其中{x1,x2,... xi} 的和为n-m，因此这种情况下
                 为f(n-m,m)
               (b). 划分中不包含m的情况，则划分中所有值都比m小，即n的(m-1)划分，个数为f(n,m-1);
              因此 f(n, m) = f(n-m, m)+f(n,m-1);
      综上所述：
                             f(n, m)=   1;                (n=1 or m=1)
                             f(n, n);                        (n<m)
                             1+ f(n, m-1);                (n=m)
                             f(n-m,m)+f(n,m-1);      (n>m)

代码如下：

 #include<iostream>
 #include<string>
 #include<string.h>
 #include<cstdio>
 #include<algorithm>
 using namespace std;

 int fun(int n, int m)
 {
     if(n == 1 || m == 1) return 1;
     else if(n < m) return fun(n, n);
     else if(n == m) return (1 + fun(n, m - 1));
     else return (fun(n, m - 1) + fun(n - m, m));
 }

 int main()
 {
     //freopen("Input.txt", "r", stdin);
     int N;
     scanf("%d", &N);
     while(N--)
     {
         int n;
         scanf("%d", &n);
         printf("%d\n", fun(n, n));
     }
     return 0;
 }