SPFA

求单源最短路的SPFA算法的全称是:Shortest Path Faster Algorithm。
SPFA算法是西南交通大学段凡丁于1994年发表的.
从名字我们就可以看出,这种算法在效率上一定有过人之处。
很多时候,给定的图存在负权边,这时类似Dijkstra等算法便没有了用武之地,而 Bellman-Ford算法的复杂度又过高,SPFA算法便派上用场了。
简洁起见,我们约定有向加权图G不存在负权回路,即最短路径一定存在。当然,我们可以在执行该算法前做一次 拓扑排序,以判断是否存在负权回路,但这不是我们讨论的重点。
我们用 数组d记录每个结点的 最短路径估计值,而且用 邻接表来存储图G。我们采取的方法是动态逼近法:设立一个先进先出的 队列用来保存待优化的结点,优化时每次取出队首结点u,并且用u点当前的 最短路径估计值对离开u点所指向的结点v进行 松弛操作,如果v点的最短路径估计值有所调整,且v点不在当前的队列中,就将v点放入队尾。这样不断从 队列中取出结点来进行 松弛操作,直至队列空为止。
定理: 只要 最短路径存在,上述SPFA算法必定能求出最小值。
证明:每次将点放入队尾,都是经过 松弛操作达到的。换言之,每次的优化将会有某个点v的 最短路径估计值d[v]变小。所以算法的执行会使d越来越小。由于我们假定图中不存在负权回路,所以每个结点都有 最短路径值。因此,算法不会无限执行下去,随着d值的逐渐变小,直到到达 最短路径值时,算法结束,这时的最短路径估计值就是对应结点的最短路径值。(证毕)
期望的 时间复杂度O(ke), 其中k为所有顶点进队的平均次数,可以证明k一般小于等于2。
实现方法:建立一个 队列,初始时队列里只有起始点,在建立一个表格记录起始点到所有点的 最短路径(该表格的初始值要赋为极大值,该点到他本身的路径赋为0)。然后执行 松弛操作,用 队列里有的点去刷新起始点到所有点的最短路,如果刷新成功且被刷新点不在队列中则把该点加入到队列最后。重复执行直到 队列为空
判断有无负环:如果某个点进入队列的次数 大于等于N次 则存在负环(SPFA无法处理带负环的图)
(“算法编程后实际运算情况表明m一般没有超过2n.事实上顶点入队次数m是一个不容易事先分析出来的数,但它确是一个随图的不同而略有不同的常数.所谓常数,就是与e无关,与n也无关,仅与边的权值分布有关.一旦图确定,权值确定,原点确定,m就是一个确定的常数.所以SPFA算法复杂度为O(e)(证毕) [1] ”——SPFA的论文
事实上这个证明是非常不严谨甚至错误的,事实上在bellman算法的论文中已有这方面的内容,所以国际上一般不承认SPFA算法)

模版题:UVA  558 - Wormholes
摘自:百度百科

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