SPFA

求单源最短路的SPFA算法的全称是：Shortest Path Faster Algorithm。

SPFA算法是西南交通大学段凡丁于1994年发表的.

从名字我们就可以看出，这种算法在效率上一定有过人之处。

很多时候，给定的图存在负权边，这时类似Dijkstra等算法便没有了用武之地，而 Bellman-Ford算法的复杂度又过高，SPFA算法便派上用场了。

简洁起见，我们约定有向加权图G不存在负权回路，即最短路径一定存在。当然，我们可以在执行该算法前做一次 拓扑排序，以判断是否存在负权回路，但这不是我们讨论的重点。

我们用 数组d记录每个结点的 最短路径估计值，而且用 邻接表来存储图G。我们采取的方法是动态逼近法：设立一个先进先出的 队列用来保存待优化的结点，优化时每次取出队首结点u，并且用u点当前的 最短路径估计值对离开u点所指向的结点v进行 松弛操作，如果v点的最短路径估计值有所调整，且v点不在当前的队列中，就将v点放入队尾。这样不断从 队列中取出结点来进行 松弛操作，直至队列空为止。

定理: 只要 最短路径存在，上述SPFA算法必定能求出最小值。

证明：每次将点放入队尾，都是经过 松弛操作达到的。换言之，每次的优化将会有某个点v的 最短路径估计值d[v]变小。所以算法的执行会使d越来越小。由于我们假定图中不存在负权回路，所以每个结点都有 最短路径值。因此，算法不会无限执行下去，随着d值的逐渐变小，直到到达 最短路径值时，算法结束，这时的最短路径估计值就是对应结点的最短路径值。（证毕）

期望的 时间复杂度O(ke)， 其中k为所有顶点进队的平均次数，可以证明k一般小于等于2。

实现方法：建立一个 队列，初始时队列里只有起始点，在建立一个表格记录起始点到所有点的 最短路径（该表格的初始值要赋为极大值，该点到他本身的路径赋为0）。然后执行 松弛操作，用 队列里有的点去刷新起始点到所有点的最短路，如果刷新成功且被刷新点不在队列中则把该点加入到队列最后。重复执行直到 队列为空

判断有无负环：如果某个点进入队列的次数 大于等于N次 则存在负环（SPFA无法处理带负环的图）

（“算法编程后实际运算情况表明m一般没有超过2n.事实上顶点入队次数m是一个不容易事先分析出来的数,但它确是一个随图的不同而略有不同的常数.所谓常数,就是与e无关,与n也无关,仅与边的权值分布有关.一旦图确定,权值确定,原点确定,m就是一个确定的常数.所以SPFA算法复杂度为O(e)(证毕） [1] ”——SPFA的论文

事实上这个证明是非常不严谨甚至错误的，事实上在bellman算法的论文中已有这方面的内容，所以国际上一般不承认SPFA算法）

模版题：UVA  558 - Wormholes

摘自：百度百科