[HDU 4855] Goddess （极角排序+三分）

HDU - 4855
借这道题学了下极角排序和三分求凸函数最大值
按所有左右切线，圆心的弧度值排序，从而分割出角度上的若干个区间
射线的角度在这些区间里变动时，每个割线的长度都是凸函数，叠加起来也是凸函数
所以可以对每个区间利用三分法求得最大值，再对这些最大值取 max 即为答案

1) 利用三分法可以求得单峰函数的最大值
2) 利用 atan2(y,x)可以比较方便地求出向量与 x轴正方向的夹角，取值范围 [-Pi,Pi]，从逆时针旋转 Pi 到顺时针旋转 Pi
但是排序后要插入两个额外的角， -Pi和 Pi，这是为了防止有圆穿过 x负半轴，而无法进行比较
3) 计算圆是否与射线相交时，可以利用旋转矩阵旋转射线和圆心，将射线与 x正半轴对齐
此时距离即为旋转后圆心的 y坐标，x坐标若为负数，则表明圆在射线另一侧

#if _WIN32||_WIN64
#define lld I64d
#define llu I64u
#endif
#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <map>
#include <set>
using namespace std;
typedef pair<int,int> Pii;
#define MST(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define CLR(a) MST(a,0)
#define LL long long
#define ULL unsigned long long
int maxx(int a,int b){return a>b?a:b;}
int minn(int a,int b){return a<b?a:b;}
int abss(int a){return a<0?(-a):a;}

const double eps=1e-11,PI=acos(-1.0);
struct Circle
{
    double x,y,r;
};
struct Vector
{
    double x,y;
    Vector(double tx=0, double ty=0):x(tx),y(ty){};
};

double VLen(Vector u){return sqrt(u.x*u.x+u.y*u.y);}
double operator ^ (Vector u, Vector v){return u.x*v.y-u.y*v.x;}

int N,ap;
Circle inpt[250];
double angl[800];

double calc(double);

int main()
{
    while(~scanf("%d", &N))
    {
        ap=0;
        angl[++ap]=PI;
        angl[++ap]=-PI; // to calculate the circle go across the x-asis
        for(int i=1; i<=N; i++)
        {
            scanf("%lf%lf%lf", &inpt[i].x, &inpt[i].y, &inpt[i].r);
            double acent=atan2(inpt[i].y,inpt[i].x);
            double distc=VLen(Vector(inpt[i].x,inpt[i].y));
            double delta=asin(inpt[i].r/distc);
            double ang1=acent-delta,ang2=acent+delta;
            if(ang1<-PI&&fabs(ang1+PI)>eps) ang1+=2*PI;
            if(ang2>PI&&fabs(ang2-PI)>eps) ang2-=2*PI;
            angl[++ap]=acent;
            angl[++ap]=ang1;
            angl[++ap]=ang2;
        }
        sort(angl+1,angl+1+ap);
        ap=unique(angl+1,angl+1+ap)-angl-1;
        double ans=0.0;
// for(int i=1; i<=ap; i++) printf("%lf\n", angl[i]);
        for(int i=1; i<ap; i++)
        {
            double l=angl[i],r=angl[i+1];
            double res=0;
            while(l<r&&fabs(l-r)>eps)
            {
// printf("l:%f r:%f res:%f\n", l, r, res);system("pause");
                double ll=l+(r-l)/3;
                double rr=l+2*(r-l)/3;
                double resl=calc(ll);
                double resr=calc(rr);
                if(resl>resr)
                {
                    res=resl;
                    r=rr-eps;
                }
                else
                {
                    res=resr;
                    l=ll+eps;
                }
                if(res>ans&&fabs(res-ans)>eps) ans=res;
            }
        }
        printf("%.8f\n", ans);
    }
    return 0;
}

double calc(double ang)
{
    double m11=cos(ang),m12=sin(ang),m21=-sin(ang),m22=cos(ang);// use matrix to rotate the center of circles
    double temp=0.0;
    for(int i=1; i<=N; i++)
    {
        double x=m11*inpt[i].x+m12*inpt[i].y; // has the same direction with the laser
        double y=fabs(m21*inpt[i].x+m22*inpt[i].y); // the distance to the laser
        if((y<inpt[i].r&&fabs(y-inpt[i].r)>eps)&&(x>0))
        {
            temp+=2*sqrt(inpt[i].r*inpt[i].r-y*y);
        }
    }
    return temp;
}