[BZOJ 2731][HNOI 2012]三角形覆盖问题(计算几何+扫描线暴力)

题目链接

http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2731

思路

裸的三角形求面积并问题，计算几何问题中这类求面积并的问题的通法就是对事件点做扫描线，不过这个题很有意思，因为它给的所有点的坐标都是整数，而且三角形都是等腰直角三角形，这就使得要讨论的情况简化了许多：1、几乎全部是整数运算，不存在精度问题，不像射箭那题丧病地卡精度，非常爽；2、三角形和三角形的交都是等腰直角三角形，做扫描线时，每次求的面积都是一个直角梯形的面积，并且是顶边一定小于底边的三角形，非常好求。
裸做扫描线的做法不难，但是过不了所有数据，但是这种暴力做法还是可以通过优化过掉此题。
首先膜拜下我们湖北第一神犇vfleaking的题解
http://vfleaking.blog.163.com/blog/static/17480763420123301447215/
以下做法就是他的做法，非常简单粗暴。
将所有三角形按照底边的 y 坐标升序排序，然后用一根扫描线，从最下面的三角形的底边开始向上扫，并时刻维护 sum[]数组和len ， sum[i]= 第 i 格上覆盖的三角形个数（注意是第 i 格而不是第 i 个点！第 i 个点和第 i+1 个点之间的那一格就是第 i 格）， len= 扫描线上被覆盖的部分的总长度(以下简称有效长度)，显然移动完一次扫描线后，答案中增加的面积 =上次扫描线的有效长度+本次扫描线的有效长度2

那么实际上整个题要做的就是从最下面不断地向上移动扫描线，用一个栈维护覆盖在扫描线上面的三角形，每移动一次扫描线，先维护一次有效长度和 sum[] 数组，但是这次维护只是在原有的三角形基础上减少，并不增加三角形（也就是说这次维护是不添加新相交的三角形的，有效长度只会减少，不会增加）！在答案中添加面积后，再对扫描线上的有效长度和 sum[] 数组这两个信息进行第二次维护，这次会加入移动扫描线后新相交的三角形。如此反复便可得到答案。

但是这样做还是会TLE掉最后两个点，因此我们需要再想办法优化，可以发现，某些小三角形是被大三角形所包裹起来的（如下图中红叉的那个紫色三角形，虚线是扫描线，箭头是扫描线的移动方向），显然这样的小三角形都可以忽略不计，因此可以大大减少数据规模。

那么我们可以标记每个三角形是否已经被删除了，在每次扫描线移动后，在加入新的三角形的时候，看这个三角形是否包裹了原来的三角形，以及这个三角形是否被原来的三角形所包裹。若这个三角形包裹了原来的三角形，就把原来的那个三角形删掉，如此下去，如果这个三角形并没有被原来扫描线上的三角形包裹，那么就把它加入扫描线上，并更新对应于扫描线上的区间的格子的信息。
要做到轻松地删除三角形，并通过这样的优化减少数据规模的话，就需要用一个双向链表来维护当前所有还没被删掉的三角形，当然也可以用splay来维护的啦，速度会快很多。

另外这个题的坐标范围比较小，因此扫描线暴力地一格一格移动就行了（就是i++这样），没必要搞离散化，写离散化反而会搞复杂，不过如果坐标范围变大的话，就只能写离散化了。

代码

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>
#include <algorithm>

#define MAXN 11000
#define MAXL 1100000

using namespace std;

double ans=0; //ans=三角形的面积并
int n; //n个三角形
int lowerBound=MAXL,upperBound=-MAXL; //三角形在y坐标上的覆盖区间为[lowerBound,upperBound]
int next[MAXN],last[MAXN]; //双向链表，删除三角形时用
int head=1; //链表表头指针
bool availble[MAXN]; //true表示该三角形可以用
int sum[MAXL]; //sum[i]=在当前扫描线上，x坐标为i的点被三角形覆盖的次数
int stack[MAXN],top=0; //stack保存每次移动扫描线后被改的三角形

void del(int p) //在双向链表中删除点p
{
    if(p==head) head=next[p];
    next[last[p]]=next[p];
    last[next[p]]=last[p];
    availble[p]=false;
}

struct Triangle //三角形
{
    int x,y,d; //三个点坐标(x,y),(x,y+d),(x+d,y)
    int l,r; //三角形投影在x轴的区间
}triangles[MAXN];

bool cmp(Triangle a,Triangle b)
{
    if(a.y==b.y) return a.l<=b.l&&a.r>=b.r;
    return a.y<b.y;
}

bool operator>(Triangle a,Triangle b)
{
    return a.l<=b.l&&a.r>=b.r;
}

void init()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%d%d%d",&triangles[i].x,&triangles[i].y,&triangles[i].d);
        triangles[i].l=triangles[i].x;
        triangles[i].r=triangles[i].x+triangles[i].d;
        availble[i]=true;
        last[i]=i-1;
        next[i]=i+1;
        lowerBound=min(lowerBound,triangles[i].y);
        upperBound=max(upperBound,triangles[i].y+triangles[i].d);
    }
    sort(triangles+1,triangles+n+1,cmp);
}

void work() //求三角形面积并
{
    int len=0; //len=在当前扫描线上被三角形覆盖的长度
    for(int i=1;i<=n&&triangles[i].y==lowerBound;i++) //枚举三角形i
        for(int j=triangles[i].x;j<triangles[i].r;j++) //枚举扫描线上的坐标j
        {
            if(!sum[j]) len++;
            sum[j]++;
        }
    for(int i=lowerBound+1;i<=upperBound;i++)
    {
        int lastlen=len;
        top=0;
        for(int j=head;triangles[j].y<i&&j<=n;j=next[j]) //在链表中找那些被扫描线穿过的三角形j
        {
            Triangle &now=triangles[j];
            now.r--; //扫描线向上移了一个单位，对应的，这个三角形的投影区间变成了[L,R-1]
            if(now.r==now.x-1) //这个三角形扫完了
                del(j); //将它从链表中删去
            else
            {
                if(sum[now.r]==1) len--; //只有一个三角形覆盖了扫描线上now.r的点，这个点不能计入有效长度，那么当前扫描线上的有效长度-1
                sum[now.r]--;
                stack[++top]=j;
            }
        }
        ans=ans+(double)(lastlen+len)/2; //用以lastlen为底边，len为顶边、高为1的梯形更新面积并
        //然后更新，把那些被其他大三角形包裹住的小三角形删掉
        for(int j=head;triangles[j].y<=i&&j<=n;j=next[j]) //更新扫描线上每个点被三角形覆盖的次数
        {
            int k;
            if(triangles[j].y==i)
            {
                for(k=1;k<=top;k++)
                {
                    if(availble[stack[k]]==false) continue;
                    if(triangles[stack[k]]>triangles[j])
                    {
                        del(j);
                        break;
                    }
                    if(triangles[j]>triangles[stack[k]])
                    {
                        del(stack[k]); //删了栈中的三角形的话，扫描线上每个点被覆盖次数以及扫描线的有效长度必须更新
                        for(int t=triangles[stack[k]].l;t<triangles[stack[k]].r;t++)
                        {
                            if(sum[t]==1) len--;
                            sum[t]--;
                        }
                    }
                }
                if(k>top) //新加入的三角形j没有被原来扫描线上覆盖的三角形所删除，那么它就有可能删除了原来覆盖的三角形，将它对应在扫描线上的区间上的格子都更新一遍
                {
                    for(int t=triangles[j].l;t<triangles[j].r;t++)
                    {
                        if(sum[t]==0) len++;
                        sum[t]++;
                    }
                }
            }
        }
    }
}

int main()
{
    init();
    work();
    printf("%.1lf\n",ans);
    return 0;
}