#include <bits/stdc++.h> using namespace std; const int maxn = 5E4 + 10; struct Point { double x, y; Point(double x = 0, double y = 0): x(x), y(y) { } }; typedef Point Vector; Vector operator + (const Vector& A, const Vector& B) { return Vector(A.x + B.x, A.y + B.y); } Vector operator - (const Point& A, const Point& B) { return Vector(A.x - B.x, A.y - B.y); } Vector operator * (const Vector& A, double p) { return Vector(A.x * p, A.y * p); } double Dot(const Vector& A, const Vector& B) { return A.x * B.x + A.y * B.y; } double Cross(const Vector& A, const Vector& B) { return A.x * B.y - A.y * B.x; } double Length(const Vector& A) { return sqrt(Dot(A, A)); } Vector Normal(const Vector& A) { double L = Length(A); return Vector(-A.y / L, A.x / L); } double PolygonArea(vector<Point> p) { int n = p.size(); double area = 0; for (int i = 1; i < n - 1; i++) area += Cross(p[i] - p[0], p[i + 1] - p[0]); return area / 2; } // 有向直线。它的左边就是对应的半平面 struct Line { Point P; // 直线上任意一点 Vector v; // 方向向量 double ang; // 极角,即从x正半轴旋转到向量v所需要的角(弧度) Line() {} Line(Point P, Vector v): P(P), v(v) { ang = atan2(v.y, v.x); } bool operator < (const Line& L) const { return ang < L.ang; } }; // 点p在有向直线L的左边(线上不算) bool OnLeft(const Line& L, const Point& p) { return Cross(L.v, p - L.P) > 0; } // 二直线交点,假定交点惟一存在 Point GetLineIntersection(const Line& a, const Line& b) { Vector u = a.P - b.P; double t = Cross(b.v, u) / Cross(a.v, b.v); return a.P + a.v * t; } const double eps = 1e-6; // 半平面交主过程 vector<Point> HalfplaneIntersection(vector<Line>& L) { int n = L.size(); sort(L.begin(), L.end()); // 按极角排序 int first, last; // 双端队列的第一个元素和最后一个元素的下标 vector<Point> p(n); // p[i]为q[i]和q[i+1]的交点 vector<Line> q(n); // 双端队列 vector<Point> ans; // 结果 q[first = last = 0] = L[0]; // 双端队列初始化为只有一个半平面L[0] for (int i = 1; i < n; i++) { while (first < last && !OnLeft(L[i], p[last - 1])) last--; while (first < last && !OnLeft(L[i], p[first])) first++; q[++last] = L[i]; if (fabs(Cross(q[last].v, q[last - 1].v)) < eps) // 两向量平行且同向,取内侧的一个 { last--; if (OnLeft(q[last], L[i].P)) q[last] = L[i]; } if (first < last) p[last - 1] = GetLineIntersection(q[last - 1], q[last]); } while (first < last && !OnLeft(q[first], p[last - 1])) last--; // 删除无用平面 if (last - first <= 1) return ans; // 空集 p[last] = GetLineIntersection(q[last], q[first]); // 计算首尾两个半平面的交点 // 从deque复制到输出中 for (int i = first; i <= last; i++) ans.push_back(p[i]); return ans; } int n, x, y; Point P[maxn]; bool check(int m) { vector<Line>l; for (int i = 0; i < n; i++) l.push_back(Line(P[(i + m + 1) % n], P[i] - P[(i + m + 1) % n])); return HalfplaneIntersection(l).empty(); } int main(int argc, char const *argv[]) { while (~scanf("%d", &n) && n) { for (int i = 0; i < n; i++) { scanf("%d%d", &x, &y); P[i] = Point(x, y); } if (n == 3) printf("1\n"); else { int L = 1, R = n - 3, M; while (L < R) { M = L + (R - L) / 2; if (check(M)) R = M; else L = M + 1; } printf("%d\n", L); } } return 0; }
这货需要nlogn的半平面交,具体解析来自于http://blog.csdn.net/acm_cxlove/article/details/7915167
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首先需要明白的是一个问题,对于摧毁一定数量的塔防,怎样的方案是使得剩下的保护范围最小。
结论是摧毁连续多个顶点,这样是最优的,可以尝试证明一下。
对于5个顶点的多边形,删除两个顶点,可以尝试连续两个顶点,以及间隔一个顶点。
由于原多边形是凸边形,所以还是比较容易得到连续顶点最优,同理可得其它情况。
题目要求的是使对方尽可能多的摧毁至少需要摧毁的塔防,联系复杂度等等问题
二分答案,然后判断是否存在一个区域,保证能受保护。
对于每一次二分,枚举删除连续的顶点,形成新的边界,通过半平面交判断是否存在可行区域。
注意:边界上的点是不受保护的,所以只需要判断多边形的核的面积即可。
当剩余的点在2个以及以下是,是肯定可行的。避免处理麻烦。
再看一看题目的范围,5W个顶点,半平面交至少肯定是要用nlgn的算法,其实听了晴天哥哥的说明,才知道,这题
二分+半平面交的nlgnlgn的算法都要卡掉,顿时吓尿了,难道有o(n)的半平面交算法???
多亏晴天哥哥的指导,其实zzy的半平面交算法是将所有向量按极角排序之后,维护了一个双端队列,排序部分达到nlgn的复杂度,其实后面只需要o(n)。然后再看这题,原先给的凸多形是有序的,而之后我们的连线的极角也是循环有序的,线性扫描一遍,找到最小的极角,便可以依次得到有序的向量,O(n)的线性sort,晴天哥哥太神了。
具体细节就要看每个人的习惯了,我将原来的顺序调整为逆序,半平面交的算法是针对向量的左侧,而极角是顺时针有序。
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