矩阵快速幂总结
学习矩阵相乘是由于某星期天在做Bestcoder 的时候第二题就是一个要用矩阵快速幂的题，结果没有做出来,于是就找了几个矩阵相乘的题目做了一下（持续更新中……）。
一 、HDU 4990 Reading comprehension
做题感悟：自从做了这题才发现原来可以这样，于是就开始研究关于矩阵相乘的题目。
解题思路：首先如果你打印前几项你会发现： 1 ， 2， 5 ，10 ，21 ，42 ，170 ，如果把奇数项和偶数项分开就会得到通项公式，F[ n ] = 4*F[ n - 1 ] + 2 (偶数项) ，F[n] = 4*F[n-1] + 1 (奇数项) ，其实只要用一个通项公式就可以了，假设我们用偶数项的通项公式求第 n个值 即：n为偶数--> F[n/2] ，n ---> 为奇数项-->F[n/2]*2 + 1 ，好了通项公式已经浮出水面。
接下来就是构造矩阵了，因为右边只有两项所以需要 2 * 2 的矩阵，那么必定是这样构造 ( Fi , x) = (Fi-1 , x) * A( 其中x为常数 ，A为矩阵)同时设 A = {a ,b ,c ,d } ,这样一相乘
就得到各个数：
这样就得到矩阵A了。
代码~~>
做题感悟：开始时推公式推错了推出--> F[ n ] = A * F[ n - 1 ] + 1 ,也没去验证一下就高高兴兴的写代码了，写完才发现原来递推公式不对。。。
解题思路：方法一、推出上面那个公式完全按照进制类似的思想推的，很明显F[ 2 ] 就不满足，S = A + A ^ 2 + A ^ 3 +……A ^ k = ( ( ( ( A ) * A + A ) * A + A ) * A + A…… ) ,由此得出递推公式--> F[ n ] = A * F[ n - 1 ] + A ;这样第一步完成。
第二步，构造特殊矩阵 B,这里B矩阵同样是 2 * 2 的（ 因为右边有两项 ），那么 ( F[ n ] , x ) = ( F[ n - 1 ] , x ) * B , B = { a , b , c , d } ,接下来再来一张自制图片(手机像素有限，就凑合着看吧！) ，A 为输入的矩阵，1为单位矩阵。
方法二、二分
和矩阵快速幂一样，这样二分不用构造矩阵。
1、k 为偶数，设 k = 2*m ,则 S = A + A^2 + A^3 + ……+A^m + (A + A^2 + A^3 + A^4 + A^m) * A^m , b = A^m ,sum = S + S*b ;
2、k为奇数，设 k = 2*m + 1 ;则 S = A + A^2 + A^3 + ……A^m + (A + A^2 + A^3 + ……+ A^m )*A^m + A^k ,b = A^(m+1) ,sum = S + b + S*b ;
代码1~~>
代码2~~>
做题感悟：做完这题就再也不用担心这类题了。。。
解题思路：
第一步：我们还是先推递推公式，因为S[ n ] = S[ n -1 ] + ( An ) ^ 2 { 因为 ( An ) ^ 2 = ( x * An-1 ) ^ 2 + ( y * An-2 ) ^ 2 + 2 * x * y * An-1 * An-2 } = S [ n - 1] + ( x * An-1 ) ^ 2 + ( y * An-2 ) ^ 2 + 2 * x * y * An-1 * An-2 ;
接下来，这样我们构成矩阵相乘的形式：( S[ n ] , ( An ) ^ 2 , ( An-1 ) ^ 2 , An * An-1 ) = (S[ n - 1 ] , ( An-1 ) ^ 2 ,( An-2 ) ^ 2 , An-1 * An-2 ) * B( 4 * 4 的矩阵) ，再看下面的图片~~>
初始矩阵( s1 , A0 ^ 2 , A1 ^ 2 , A0 * A1 ) = ( 2 , 1 , 1 , 1 ) , 注意取余！！
代码~~>
四 、HDU 3117 Fibonacci Numbers
做题感悟：做这题顺便又做了两个关于求位数的题(这里~~>)，感觉有学到了一些东西。
解题思路：
这题后四位好求直接矩阵快速幂就 ok 了，重点就是求前四位，Fibonacci 有一个直接求第 n 项的公式 F[ n ] = ( ( ( 1 + sqrt(5)) / 2 ) ^ n - ( ( 1 - sqrt( 5 ) ) / 2 ) ^ n ) / sqrt( 5 ) ; 当 n 大于39 时 ( (1 - sqrt( 5 ) ) / 2 ) ^ n 可以忽略不计了，于是F[ n ] = ( ( ( 1 + sqrt( 5 ) ) / 2 ) ^ n ) / sqrt( 5 ) ; 我们假设 F[ n ] = t * 10 ^ k ,( t为小于1的小数)，那么log10( t * 10 ^ k ) = log10( ( ( ( 1 + sqrt( 5 ) ) / 2 ) ^ n ) / sqrt( 5 ) ).
化简一下 ==> log10( t ) + k = n * log10( (1.0 + sqrt( 5.0 ) ) / 2 ) - log10( sqrt( 5.0 ) ) { 令 ：temp = n * log10 ( ( 1.0 + sqrt( 5.0 ) ) / 2 ) - log10( sqrt ( 5.0 ) ) , k = ( int ) log10( F[ n ] ) +1 } ==>log 10 ( t ) = temp - k ; 那么 t = 10 ^( log10( t ) ) ,只要将 t * 1000 就可以了。
代码~~>
五 、HDU 4920 Matrix multiplication
做题感悟：做完这题又更加坚信了一点-->一些题要找准突破点，然后从突破点入手，也可以说成从出题人的角度入手。
解题思路：
读完这题，你毕定对题中对 3 取模很诧异，如果用普通的方法 n^3 超时，so~> 需要对 3 下手。
注意到：Ci ,j = Ai * B j ( A , B ,代表向量 ) ，即： A 的第 i 行向量与 B 的第 j 列向量的点积，考虑向量 X 与向量 Y 的点积 ，X * Y = ∑xi*yi ; 只有四种非零项：1*1 ，1*2 ，2*1 ，2*2 ，预处理X ,Y 中1和2的位置(采用 bitset )，每次只要统计两个 bitset 交集的大小。
代码~~>
六 、HDU 4965 Fast Matrix Calculation
做题感悟：这题比赛的时候都没看，看了估计也想不出这种方法，线性代数学的确实不咋的。
解题思路：
看到 C ^ ( n * n ) 就应该想到矩阵快速幂，怎样快速幂呢 ？ 暴力明显姿势太难看 ，那就需要想一下优化 ，这里的突破口是 6 ，一般矩阵相乘都需要很小的矩阵，如果太大必定超时，so~> 要用到线性代数 (A*B) ^n = A * ( B * A ) ^ n * B ,这样 B * A ,显然是一个最大 6 * 6 的矩阵完全可以接受。这样复杂度为：O( n * k ^ 2 + k ^ 3 *logn + n * k ^ 2).
代码~~>
七 、HDU 2855 Fibonacci Check-up
做题感悟：深切体会到这种题应该打一下表找一下规律的，因为 n <= 10^9 ,这种一定是推公式然后矩阵快速幂。
解题思路： S[ n ] = F[ n*2 ] (注意 n = 0) ;
过程：S[ n ] = 
,
代码~~>
八 、HDU 2604 Queuing
解题思路：先说一下自己的思路---> 开始自己深搜了一下打了一个表，于是乎发现了规律 F [ i ] = F[ i - 1 ] + F[ i - 3 ] + F[ i - 4 ] ，然后构造矩阵就傻了，只要添上一项就可以，见图：
做完后看了一下别人的题解：竟然可以打表，自己怎么就没想到呢？打表要用char的数组，要不然超内存。
某大牛的解释：假设长度为L的队列中存在的序列个数为f(L)，那么考虑最后一个放的字母，假设最后一个放m，那么前L-1个可以随意排列，即个数为f(L - 1)；如果最后一个放f，那么考虑后两个字母，可能出现的情况为ff，mf，这样比较难判断是否符合题目要求的，所以我们考虑后三个字母，可能出现的情况就为fff，mff，fmf，mmf，显而易见mff，mmf符合题意。当后三个为mmf时，前L-3个可以随意排列，即个数为f(L - 3)，当为mff时，可能出现不满足题意的情况，所以我们考虑后四个字母，可能出现的情况为mmff，fmff，只有mmff满足题意，即个数为f(L - 4)。因此可以得到一个递推式f(L) = f(L - 1) + f(L - 3) + f(L - 4)。那么剩下的就是矩阵快速幂的任务了。
打表代码~~>
代码~~>
九 、HDU 1757 A Simple Math Problem
裸的矩阵快速幂，公式已经给出，构造 10*10 的矩阵即可，代码~~> ;
十 、HDU 2256 Problem of Precision
解题思路：这题感觉很有档次，矩阵快速幂里面只能是整数，因为要对某个数取模。
代码~~>
十一、坐标点的变换
平面中一个点绕另一个点旋转θ弧度公式：
(逆时针): x = ( x1 - x0 ) * cos( θ ) - ( y1 - y0 ) * sin( θ ) + x0 ;
y = ( x1 - x0 ) * sin( θ ) + ( y1 - y0 ) * cos( θ ) + y0 ;
(顺时针)：只需要用π*2 - θ 就好。
摘自Matrix67
给定n个点，m个操作，构造O(m+n)的算法输出m个操作后各点的位置。操作有平移、缩放、翻转和旋转 , 这里的操作是对所有点同时进行的。其中翻转是以坐标轴为对称轴进行翻转（两种情况），旋转则以原点为中心。如果对每个点分别进行模拟，那么m个操作总共耗时O(mn)。利用矩阵乘法可以在O(m)的时间里把所有操作合并为一个矩阵，然后每个点与该矩阵相乘即可直接得出最终该点的位置，总共耗时O(m+n)。假设初始时某个点的坐标为x和y，下面5个矩阵可以分别对其进行平移、旋转、翻转和旋转操作。预先把所有m个操作所对应的矩阵全部乘起来，再乘以(x,y,1)，即可一步得出最终点的位置。
注意如果输入角度的话需要转换为弧度（1弧度 = 180/π 度 ，1度 = π / 180 弧度）
NYOJ 298 点的变换
十二、 给定一个有向图，问从一点恰好走 K 步（允许重复走），到达另一点的方法数（mod p）。
建立邻接矩阵，m[ i ][ j ] = 1 （表示从 i 点到 j 点存在一条路），G[ i ][ j ] = Σ m[i][k] * m[k][j] ,枚举中间点计算总的路径数，相当于Floyed一样，平方相当于走两步所得到的方法数，K 次方就相当于走K步的方法数。
NYOJ 530 K steps 裸题
NYOJ 302 星际旅行 这个需要处理一下图，就可以了。
代码~~>
十三、循环矩阵问题。
有一些题的矩阵可以推出第一行，然后由第一行推出余下的所有行，见下图：
除了最左边的等于上一行的最后一个元素外，m[ i ][ j ] = m[ i - 1 ] [ j - 1 ] ;这样只需要求出第一行的元素，然后递推剩余的行就可以。这样矩阵的复杂度从O( n^3 )降到了O( n^2 )
FZU 1692 Key problem
每一个数更新后只与前一个数的值后一个数值和原先的值相关，于是只要 Ai = L*a( i - 1 + n )%n + ai + R * a( i + 1)%n ，这样在构造矩阵的时候 左边的数的系数是L,右边的数的系数是R,本身的系数是 1 ，其余的都是 0 。
构造后的矩阵为： 
代码~~>
NYOJ 300 Kiki & Little Kiki 2 思路和上面的差不多。
公式：Fibonacci 前 n 项和公式 S[ n ] = F[ n + 2 ] - 1 ;
十四、ZOJ 3538 Arrange the Schedule
做题感悟：这题很好，需要分段处理，开始想的太简单了以为大多数是 3 ，结果果断 WA。
解题思路：
这题需要分段处理，一段一段的，还要分两种情况，两边的字符相同时是一种情况，不相同时是一种情况，但是递推公式是一样的。
递推公式： F[ n ] = 2 * F[ n - 1 ] + 3 * F[ n - 2 ] .or F[ n ] = 3^n - F[ n - 1 ] ;
注意：如果给定的出题是不合法的需要输出0 。
代码~~>
代码~~>
十五、FZUOJ 1683 纪念SlingShot
做题感悟：很简单的一题，开始自己用五维的递推式写的，然后看了别人的竟然可以用四维，但是自己推四维的时候，nc了一会才推出来。
解题思路：
不再解释直接上图：
代码~~>
十六、POJ 3420 Quad Tiling
做题感悟：这题推公式推的真心痛，开始以为只和倒数第一行和倒数第二行有关，结果列了一个二元一次方程，很明显不对，接着列三个方程，还是不对，差点晕倒，推了一会基本确定第 n - 1 和第 n - 2 行的系数，然后就猜了一下第 n - 3 行和第 n - 4 行的系就搞定了。发现不会 DP 真的很无语。
解题思路：
直接上递推方程 ： dp [ n ] = dp[ n - 1 ] + 5 * dp[ n - 2 ] + dp[ n - 3 ] - dp [ n - 4 ] ; 有了方程之后构造出矩阵就ok了。
代码~~>
十七、HDU 5015 233 Matrix
做题感悟：比赛时各种推规律，各种搞，但是依然没有搞定，学了矩阵快速幂之后，发现TMD就是一水题。
解题思路：
一看题需要取模，m 很大 ，n 很小，很明显矩阵快速幂。已经给出递推公式：ai,j = ai-1,j + ai,j-1( i , j ≠ 0) .
矩阵构造如下：
代码~~>
十八、HDU 4686 Arc of Dream
做题感悟：简单题，和 Fibonacci 求前 n 项和一样，推一下就好。
注意：取模的时候要特别注意，还有就是很坑的一点 n = 0 的时候输出 0 。
代码~~>
十九、HDU 5068 Harry And Math Teacher
矩阵快速幂+线段树：题解
Reference resources and good blogs about matrix :
Matrix67
ffjjqqjj
hrdv