分组背包

原文链接：点击打开链接

问题:

有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的费用是c[i]，价值是w[i]。这些物品被划分为若干组，每组中的物品互相冲突，最多选一件。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。

算法:
这个问题变成了每组物品有若干种策略：是选择本组的某一件，还是一件都不选。也就是说设f[k][v]表示前k组物品花费费用v能取得的最大权值，则有：
f[k][v]=max{f[k-1][v],f[k-1][v-c[i]]+w[i]|物品i属于组k}
使用一维数组的伪代码如下：
for 所有的组k
for v=V..0
for 所有的i属于组k
f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]}
注意这里的三层循环的顺序，甚至在本文的第一个beta版中我自己都写错了。“for v=V..0”这一层循环必须在“for 所有的i属于组k”之外。这样才能保证每一组内的物品最多只有一个会被添加到背包中。
另外，显然可以对每组内的物品应用P02中“一个简单有效的优化”。
小结：

分组的背包问题将彼此互斥的若干物品称为一个组，这建立了一个很好的模型。不少背包问题的变形都可以转化为分组的背包问题（例如P07），由分组的背包问题进一步可定义“泛化物品”的概念，十分有利于解题。

例题：

HDU 1712

由于题目中的课程学习的天数是固定的，也就是说一门课只能选择学习1或2或3...天，所以这就是所说的物品互相冲突，故用分组背包解即可。

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
int main()
{
    int n, M, A[110][110], dp[110], i, j, k;

    while(~scanf("%d%d", &n,&M),n+M)
    {
        memset(dp, 0, sizeof(dp));
        for(i=1; i<=n; i++)
            for(j=1; j<=M; j++)
                scanf("%d", &A[i][j]);
        for(i=1; i<=n; i++)
          for(j=M; j>=0; j--)
            for(k=1; k<=j; k++)
                dp[j] = max(dp[j], dp[j-k]+A[i][k]);
        printf("%d\n", dp[M]);
    }
    return 0;
}