图的连通性

无向图的连通性

先明白一些概念。
割点：若一个点删除后（也就是与之相连的边统统去掉），无向图不再连通，那么此点称为割点。
桥：若一条边断去后，无向图不再连通，那么此边称为桥。桥有一个很好的性质，就是DFS一个无向图，那么这个过程必定要经过桥。
块：没有割点的无向图称为2-连通分支，也称作块。

割点、桥均可以在DFS的过程中求得。

那么，对于一个无向图有以下操作：
1.将一个无向图的块缩成一个点。这个时候要注意，一个点是有可能在两个块之中的，因此不能用floodfill来求块，也不能仅用一个一维数组标记某点在哪个块之中。其中一种正确的方法是在DFS时使用一个辅助栈，每次访问一个节点时将该节点进栈，在遇到割点的时候将栈内的元素退栈，直到退到当前节点。那么这一次退出来的节点，再加上当前割点，必定就是一个块。

2.很多人说的“缩点”，其实并不是指缩块。而是指将无向图中没有割边的子图缩成一个点。这样缩点之后图就会变成一棵树，树上的边必定是一条桥。此外，如果这样缩点，那么一个节点只能在其中的一个“块”内。这个道理很明显，一个桥若断开，就把图分成不连通的两部分。一个点不可能同时在这两个部分中。

这个缩点的方法很多，既可以像上面那样，在DFS的时候用栈处理，也可以在DFS后将图上的桥断开，然后floodfill。不过这个方法虽然容易理解，但似乎只能用在邻接矩阵中，而且复杂度比较高。

处理问题的时候必须先弄清楚题目的意思，题目要求的是点的连通性，还是边的连通性。根据要求我们再去“缩点”，“缩块”。举个例子：某网络中由服务器和网线组成，问哪些服务器瘫痪后，整个网络就被隔开，不能通信，这个明显问的就是割点。但是，如果问题改成，如果哪些网线断开后，整个网络就不能通信，那么这个问的就是桥。

下面举一些POJ的题目作为例子：
POJ 2942 - Knights of the Round Table
这个题就是明显的缩块。
POJ 1523 - SPF
这个应该是点连通性

POJ 3177 - Redundant Paths
POJ 3352 - Road Construction
POJ 3694 - Network
这三个题目都是关于边连通性

有向图的连通性
强连通：对于一个图G中任意的两个节点u与v，如果都存在一条u到v与v到u的路径，那么则称此图为强连通图。
非连通图的极大强连通子图称为强联通分量。
有向图缩点：也就是把所有强联通分量缩成一个点后构成的新图。缩点的算法为Kosaraju和Tarjan算法。
Kosaraju需要两次DFS，但是比较容易理解，Tarjan似乎是一次DFS，本人没有接触过。个人认为，在竞赛中，Kosaraju算法实现简单，比较实用。Kosaraju怕的不是大数据，而是多数据。因为如果数据规模大，那么无论是Kosaraju，还是Tarjan，只要写成递归的都会爆栈。这样一次DFS和两次DFS也就没有区别了。

PS：校队的梁振师兄对爆栈问题有过深入研究，他的结论是：如果一个函数若没有参数且没返回，那么递归深度可以达到12万层。

有向图缩点的题目很多，比较经典的如下：
POJ 1236 - Network of Schools
所谓的“最小点基”。

有向图缩点一个很大的应用，就是2-SAT问题。如：
POJ 3678 - Katu Puzzle
POJ 3683 - Priest John's Busiest Day

这类问题比较多。

总结一下：
我所知道的”缩点“就是三种：
无向图缩块（缩无割点子图）
无向图缩无割边子图
有向图缩强连通分量