欧拉路AND欧拉回路

    定义:对于无孤立节点图G,若存在一条路经过图中每一条边且只经过一次,该条路称为欧拉路。若该路径为一个圈,则称为欧拉回路。

    欧拉路的判定

      (1)一个无向图存在欧拉路径,当且仅当该图是连通的,且只存在零个或两个奇数度的顶点。

      (2)一个有向图存在欧拉路径,当且仅当该图是连通的,且该图的所有顶点度数为0,或仅存在一个度数为1的顶点和一个度数为-1的顶点,其余点的度数均为0。

    欧拉回路的判定

      (1)一个无向图存在欧拉回路,当且仅当该图是连通的,且不存在奇数度的顶点。

      (2)一个有向图存在欧拉回路,当且仅当该图是连通的,且所有顶点的入度等于出度。

    对于度数的奇偶性,我们可以用非(!)运算来表示:1表示奇度,0表示偶度。接下来就是判断图的连通性了:搜索或者并查集都行,下面分别给出代码。


无向图的欧拉路径(题目链接:http://hihocoder.com/problemset/problem/1176 )

并查集实现代码如下:

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
using namespace std;
const int maxn=10005;
int ind[maxn];
int par[maxn],ran[maxn];
void init(int n)
{
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        par[i]=i;
        ran[i]=1;
    }
}
int Find(int x)
{
    if(par[x]!=x)
      return par[x]=Find(par[x]);
    return x;
}
void Union(int x,int y)
{
    x=Find(x);
    y=Find(y);
    if(x==y) return ;
    if(ran[x]>ran[y])
    {
        par[y]=x;
        ran[x]+=ran[y];
    }
    else
    {
        par[x]=y;
        ran[y]+=ran[x];
    }
}
int main()
{
    int n,m;
    while(scanf("%d%d",&n,&m)!=-1)
    {
        init(n);
        int u,v;
        memset(ind,0,sizeof(ind));
        for(int i=0;i<m;i++)
        {
            scanf("%d%d",&u,&v);
            Union(u,v);
            ind[u]=!ind[u]; //纪录每个顶点度数的奇偶性:1为奇度,0为偶度
            ind[v]=!ind[v];
        }
        int sum_par=0,sum_ind=0;
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            if(par[i]==i) sum_par++;
            if(ind[i]) sum_ind++;
        }
        if(sum_par>1)
        {
            puts("Part"); //不存在欧拉路
            continue;
        }
        if(sum_ind==0||sum_ind==2) puts("Full"); //存在欧拉路
        else puts("Part"); //不存在欧拉路
    }
    return 0;
}



DFS实现代码如下:

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
const int maxn=10005;
typedef struct
{
    int to,nex;
}EDGE;
EDGE edge[5*maxn];
int head[maxn],cnt;
int ind[maxn];
bool vis[maxn];
void add(int u,int v)
{
    edge[cnt].to=v;
    edge[cnt].nex=head[u];
    head[u]=cnt++;
}
void dfs(int x)
{
    vis[x]=true;
    for(int i=head[x];i!=-1;i=edge[i].nex)
      if(!vis[ edge[i].to ]) dfs(edge[i].to);
}
int main()
{
    int n,m;
    while(scanf("%d%d",&n,&m)!=-1)
    {
        cnt=0;
        memset(head,-1,sizeof(head));
        memset(vis,false,sizeof(vis));
        memset(ind,0,sizeof(ind));
        for(int i=0;i<m;i++)
        {
            int u,v;
            scanf("%d%d",&u,&v);
            add(u,v);
            ind[u]=!ind[u];
            ind[v]=!ind[v];
        }
        dfs(1);
        bool flag=false;
        for(int i=1;i<=n;i++)
          if(!vis[i]) flag=true;
        if(flag)
        {
            puts("Part"); //不存在欧拉路
            continue;
        }
        int sum_ind=0;
        for(int i=1;i<=n;i++)
          if(ind[i]) sum_ind++;
        if(sum_ind==0||sum_ind==2) puts("Full");
        else puts("Part");
    }
    return 0;
}



对于欧拉回路,大体上和欧拉路的求解方法一致,只是在判断度数的奇偶性上略有差异。

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