[网络流24题][CODEVS1904]最小路径覆盖问题（最大流||匈牙利算法）

题目描述

传送门
本题不用输出方案数。

题解

有一个很神的结论：最小路径覆盖=总点数-最大匹配。
为啥呢？
『拆点』
把所有的点拆成两列，左边一列表示起点，右边一列表示终点（因为题目是有向图），读入有向边之后从起点向终点连边。
『最大匹配』
为什么建好图之后的最大匹配就是总点数-最小路径覆盖呢？
试想一下，不在最大匹配中的点起点意味着没有出边，终点意味着没有入边。那我们从不在最大匹配中的终点开始往下找（终点蹦到和它相同的起点，起点顺着匹配的边走向终点），一定会找到一个没有出边的起点，那么我们以刚开始的终点为起点，以最终的起点为终点，加上中间找到过的中间结点，实际上就找到了一条路径。
你会发现这样的路径只有总点数-最大匹配个，因为只有这么些个终点没有被匹配啊。
有点绕，，语言表达能力有待提升，不过说法应该是没有问题的（起点和终点自己感受一下。。。）
『求最大匹配』
最大流或者匈牙利都可以喽，原题没有范围，貌似最大流最大流更快一些吧。。匈牙利我没试过不了的话就当我是口胡

代码

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<queue>
using namespace std;

const int max_n=1e4+5;
const int max_m=1e4+5;
const int max_N=max_n*2+2;
const int max_M=max_n*2+max_m;
const int inf=1e9;

int n,m,N,x,y,maxflow;
int point[max_N],next[max_M],v[max_M],remain[max_M],tot;
int deep[max_N],cur[max_N];
queue <int> q;

inline void add(int x,int y,int cap){
    ++tot; next[tot]=point[x]; point[x]=tot; v[tot]=y; remain[tot]=cap;
    ++tot; next[tot]=point[y]; point[y]=tot; v[tot]=x; remain[tot]=0;
}

inline bool bfs(int s,int t){
    memset(deep,0x7f,sizeof(deep));
    deep[s]=0;
    for (int i=1;i<=N;++i)
      cur[i]=point[i];
    while (!q.empty()) q.pop();
    q.push(s);

    while (!q.empty()){
        int now=q.front(); q.pop();
        for (int i=point[now];i!=-1;i=next[i])
          if (deep[v[i]]>inf&&remain[i]){
            deep[v[i]]=deep[now]+1;
            q.push(v[i]);
          }
    }

    return deep[N]<inf;
}

inline int dfs(int now,int t,int limit){
    if (now==t||!limit) return limit;
    int flow=0,f;

    for (int i=cur[now];i!=-1;i=next[i]){
        cur[now]=i;
        if (deep[v[i]]==deep[now]+1&&(f=dfs(v[i],t,min(limit,remain[i])))){
            flow+=f;
            limit-=f;
            remain[i]-=f;
            remain[i^1]+=f;
            if (!limit) break;
        }
    }
    return flow;
}

inline void dinic(int s,int t){
    while (bfs(s,t))
      maxflow+=dfs(s,t,inf);
}

int main(){
    tot=-1;
    memset(next,-1,sizeof(next));
    memset(point,-1,sizeof(point));

    scanf("%d%d",&n,&m);
    N=n*2+2;
    for (int i=1;i<=m;++i){
        scanf("%d%d",&x,&y);
        add(x+1,y+n+1,1);
    }
    for (int i=1;i<=n;++i)
      add(1,i+1,1);
    for (int i=1;i<=n;++i)
      add(i+n+1,N,1);

    dinic(1,N);
    printf("%d\n",n-maxflow);
}