树状数组
在解题过程中，我们有时需要维护一个数组的前缀和S[i]=A[1]+A[2]+...+A[i]。 但是不难发现，如果我们修改了任意一个A[i],S[i]、S[i+1]...S[n]都会发生变化。 可以说，每次修改A[i]后，调整前缀和S[]在最坏情况下会需要O(n)的时间。 当n非常大时，程序会运行得非常缓慢。 因此，这里我们引入“树状数组”，它的修改与求和都是O(logn)的，效率非常高。
如果给定一个数组，要你求里面所有数的和，一般都会想到累加。但是当那个数组很大的时候，累加就显得太耗时了，时间复杂度为O(n)，并且采用累加的方法还有一个局限，那就是，当修改掉数组中的元素后，仍然要你求数组中某段元素的和，就显得麻烦了。所以我们就要用到树状数组，他的时间复杂度为O（lgn），相比之下就快得多。下面就讲一下什么是树状数组：
一般讲到树状数组都会少不了下面这个图：
下面来分析一下上面那个图看能得出什么规律：
据图可知：c1=a1，c2=a1+a2，c3=a3，c4=a1+a2+a3+a4，c5=a5，c6=a5+a6，c7=a7，c8=a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8，c9=a9，c10=a9+a10，c11=a11........c16=a1+a2+a3+a4+a5+.......+a16。
分析上面的几组式子可知，当 i 为奇数时，ci=ai ；当 i 为偶数时，就要看 i 的因子中最多有二的多少次幂，例如，6 的因子中有 2 的一次幂，等于 2 ，所以 c6=a5+a6（由六向前数两个数的和），4 的因子中有 2 的两次幂，等于 4 ，所以 c4=a1+a2+a3+a4（由四向前数四个数的和）。
（一）有公式：cn=a(n-a^k+1)+.........+an（其中 k 为 n 的二进制表示中从右往左数的 0 的个数）。
那么，如何求 a^k 呢？求法如下：
| int lowbit(int x) { return x&(-x); } |
lowbit（）的返回值就是 2^k 次方的值。
求出来 2^k 之后，数组 c 的值就都出来了，接下来我们要求数组中所有元素的和。
（二）求数组的和的算法如下：
（1）首先，令sum=0，转向第二步；
（2）接下来判断，如果 n>0 的话，就令sum=sum+cn转向第三步，否则的话，终止算法，返回 sum 的值；
（3）n=n - lowbit（n）（将n的二进制表示的最后一个零删掉），回第二步。
代码实现：
| int Sum(int n) { int sum=0; while(n>0) { sum+=c[n]; n=n-lowbit(n); } return sum; } |
（三）当数组中的元素有变更时，树状数组就发挥它的优势了，算法如下（修改为给某个节点 i 加上 x ）：
（1）当 i<=n 时，执行下一步；否则的话，算法结束;
（2）ci=ci+x ，i=i+lowbit（i）（在 i 的二进制表示的最后加零），返回第一步。
代码实现：
| void change(int i,int x) { while(i<=n) { c[i]=c[i]+x; i=i+lowbit(i); } } |
点修改区间查询
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
using namespace std;
int a[100],cha[100],f[100];
int i,j,n,m;
int lowbit(int x)
{
return x&(-x);
}
void change(int l,int x)
{
while (l<=n)
{
f[l]=f[l]+x;
l+=lowbit(l);
}
}
int sum(int x)
{
int ans=0;
while (x>0)
{
ans+=f[x];
x-=lowbit(x);
}
return ans;
}
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&m);
for (i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%d",&a[i]);
change(i,a[i]);
}
for (i=1;i<=m;i++)
{
int x,y;
scanf("%d%d",&x,&y);
printf("%d\n",sum(y)-sum(x));
}
}区间修改点查询
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
using namespace std;
int a[100],cha[100],f[100];
int i,j,n,m;
int lowbit(int x)
{
return x&(-x);
}
void change(int l,int x)
{
while (l<=n)
{
f[l]=f[l]+x;
l+=lowbit(l);
}
}
int sum(int x)
{
int ans=0;
while (x>0)
{
ans+=f[x];
x-=lowbit(x);
}
return ans;
}
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&m);
for (i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%d",&a[i]);
cha[i]=a[i]-a[i-1];//该点与前一点的差值
change(i,cha[i]);//树状数组按之前的存储方式，只不过存的是差值
}
for (i=1;i<=m;i++)
{
int x,y,z,t;
scanf("%d",&t);
if (t==1)//区间修改，在区间起点加上z，在区间结束后在减去，这样影响的范围就限定在了【x,y】
{
scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
change(x,z);
change(y+1,-z);
}
else
{
scanf("%d",&x);
printf("%d\n",sum(x));//求该点的值就相当于求1到x的前缀和
}
}
}
树状数组的应用：
例：
2307 HH的项链
2009年省队选拔赛山东
HH有一串由各种漂亮的贝壳组成的项链。HH相信不同的贝壳会带来好运，所以每次散步完后，他都会随意取出一段贝壳，思考它们所表达的含义。HH不断地收集新的贝壳，因此，他的项链变得越来越长。有一天，他突然提出了一个问题：某一段贝壳中，包含了多少种不同的贝壳？这个问题很难回答……因为项链实在是太长了。于是，他只好求助睿智的你，来解决这个问题。
第一行：一个整数N，表示项链的长度。
第二行：N个整数，表示依次表示项链中贝壳的编号（编号为0到1000000之间的整数）。
第三行：一个整数M，表示HH询问的个数。
接下来M行：每行两个整数，L和R（1 ≤ L ≤ R ≤ N），表示询问的区间。
M行，每行一个整数，依次表示询问对应的答案。
6
1 2 3 4 3 5
3
1 2
3 5
2 6
2
2
4
对于20%的数据，N ≤ 100，M ≤ 1000；
对于40%的数据，N ≤ 3000，M ≤ 200000；
对于100%的数据，N ≤ 50000，M ≤ 200000
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
int num[50003],n,m,i,j;
int next[50003];
int point[1000003];
int p[50003],b[50003];
int ans[200003];
int c[50003];
struct data
{
int l,r,x;
};data q[200003];
int cmp(data x,data y)
{
return x.r<y.r;
}
int lowbit(int x)
{
return x&(-x);
}
int sum(int n)//求前缀和
{
int sum1=0;
while(n>0)
{
sum1+=c[n];
n=n-lowbit(n);
}
return sum1;
}
void change(int l,int x)//更新元素值
{
while (l<=n)
{
c[l]=c[l]+x;
l=l+lowbit(l);
}
}
int main()
{
freopen("s.in","r",stdin);
scanf("%d",&n);
for (i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%d",&num[i]);
next[i]=point[num[i]];
if (next[i]==0)
{
change(i,1);
b[i]=1;
}
point[num[i]]=i;
}
scanf("%d",&m);
for (j=1;j<=m;j++)
{
scanf("%d%d",&q[j].l,&q[j].r);
q[j].x=j;
p[q[j].r]=1;
}
j=0;
sort(q+1,q+m+1,cmp);
for (i=1;i<=n;i++)
{
if (b[i]==0)
{
change(next[i],-1);
change(i,1);
b[next[i]]=0;
b[i]=1;
}
if (p[i]==1)
{
while (q[j+1].r==i)
{
j++;
ans[q[j].x]=sum(q[j].r)-sum(q[j].l-1);
}
}
if (j==m)
break;
}
for (i=1;i<=m;i++)
printf("%d\n",ans[i]);
return 0;
}