bzoj 3994

设 d(x) 为 x 的约数个数，给定 N,M ，求

∑i=1N∑j=1Md(ij)

。

Input

输入文件包含多组测试数据。
第一行，一个整数 T ，表示测试数据的组数。
接下来的 T 行，每行两个整数 N,M 。

Output

T 行，每行一个整数，表示你所求的答案。

Sample Input

2
7 4
5 6

Sample Output

110
121

HINT

1≤N,M≤50000
1≤T≤50000

这题有个很屌的结论：

∑i=1N∑j=1Md(ij)=∑i=1N∑j=1M⌊Ni⌋⌊Mj⌋[gcd(i,j)=1]

根据 PoPoQQQ博客所说的，我们可以先证明这个式子的成立：

d(nm)=∑i∣n∑j∣m[gcd(i,j)=1]

我们可以证明一下：我们对每个质数 p 单独算贡献，设 n=n′×pk1 ， m=m′×pk2 。那么，该质数 p 对答案的贡献显然为 k1+k2+1 。于是我们考虑

d(nm)=∑i∣n∑j∣m[gcd(i,j)=1]

这个式子，发现 p 对之有贡献的数对 (i,j) 仍然是

(pk1,1),(pk1−1,1)⋯(1,1)⋯(1,pk2−1),(1,pk2)

这 k1+k2+1 个，因此得证。
代入得

∑n=1N∑m=1Md(nm)=∑n=1N∑m=1M∑i∣n∑j∣m[gcd(i,j)=1]

我们转变枚举量，先枚举 i,j 就有

∑i=1N∑j=1M⌊Ni⌋⌊Mj⌋[gcd(i,j)=1]

于是

∑i=1N∑j=1M⌊Ni⌋⌊Mj⌋[gcd(i,j)=1]

这个式子我们可以上反演了。
反演化为

∑i=1N∑j=1M⌊Ni⌋⌊Mj⌋∑g∣ig∣jμ(g)

转而枚举 g ，于是就可得到

∑g=1Nμ(g)∑i=1⌊Ng⌋∑j=1⌊Mg⌋⌊Nig⌋⌊Mjg⌋

再化一下就可得到

∑g=1Nμ(g)∑i=1⌊Ng⌋⌊Nig⌋∑j=1⌊Mg⌋⌊Mjg⌋

又有

⌊Nab⌋=⌊⌊Na⌋b⌋

于是我们发现 ∑⌊Ng⌋i=1⌊Nig⌋ 只与 ⌊Ng⌋ 有关，我们可以 O(nn−√) 预处理

fx=∑i=1x⌊xi⌋

有了这个后再化简

∑g=1Nμ(g)f⌊Ng⌋f⌊Mg⌋

就可在 O(n−√) 分段求了。皆大欢喜。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
using namespace std;

typedef long long ll;
#define maxn (50010)
int f[maxn],mu[maxn],prime[maxn],n,m,tot; bool exist[maxn];

inline int calc(int x) {
    int ret = 0;
    for (int i = 1,last;i <= x;i = last+1)
    {
        last = min(x,x/(x/i));
        ret += (x/i)*(last-i+1);
    }
    return ret;
}
inline void ready() {
    mu[1] = 1;
    for (int i = 2;i <= 50000;++i)
    {
        if (!exist[i]) { prime[++tot] = i; mu[i] = -1; }
        for (int j = 1;j <= tot&&prime[j]*i <= 50000;++j)
        {
            exist[i*prime[j]] = true;
            if (i % prime[j] == 0) { mu[i*prime[j]] = 0; break; }
            mu[i*prime[j]] = -mu[i];
        }
    }
    for (int i = 1;i <= 50000;++i) mu[i] += mu[i-1],f[i] = calc(i);
}

inline ll work() {
    if (n > m) swap(n,m);
    ll ret = 0;
    for (int i = 1,last;i <= n;i = last+1)
    {
        last = min(n,min(n/(n/i),m/(m/i)));
        ret += (ll)(mu[last]-mu[i-1])*((ll)f[n/i]*f[m/i]);
    }
    return ret;
}

int main() {
    freopen("3994.in","r",stdin);
    freopen("3994.out","w",stdout);
    ready();
    int T; scanf("%d",&T);
    while (T--) scanf("%d %d",&n,&m),printf("%lld\n",work());
    fclose(stdin); fclose(stdout);
    return 0;
}