贪心算法专题小结——区间相关问题

贪心算法是一种高效算法，可以快速得到问题的答案。如果一个问题可以用贪心法解决，那么它必须具备2条性质：1.具有最优子结构（即问题的最优解包含了子问题的最优解），2.具有贪心选择性质（即可以通过做出局部最优选择来构造全局最优）。下面总结一下基于贪心算法的区间问题。

一，选择不相交区间

1.问题描述：数轴上有n个开区间(Ai,Bi)，选择尽量多个区间，使得这些区间两两没有公共点。

样例输入：n=5, (1,3),(2,5),(4,7),(6,9),(8,10)。

样例输出：3 (选择第1,3,5个区间)

2.贪心策略：按照终点从小到大给区间排序，然后从第一个区间开始选择。

3.代码：

const int N=100000+10;
int n,s[N],t[N];

int main()
{
    while(~scanf("%d",&n))
    {
        me(s);me(t);
        for(int i=0;i<n;i++)
            scanf("%d%d",&s[i],&t[i]);
        vector<P>v;
        for(int i=0;i<n;i++)
        {
            v.push_back(P(t[i],s[i]));
        }
        sort(v.begin(),v.end());
        int ans=0;
        int t=0;
        for(int i=0;i<n;i++)
            if(t<v[i].second)
        {
            ans++;
            t=v[i].first;
        }
        printf("%d\n",ans);
    }
}

二，区间选点问题

1.问题描述：数轴上有n个闭区间[Ai,Bi]，取尽量少的点，使得每个区间都至少有一个点。

样例输入：n=5, [1,5], [8,9], [4,7], [2,6], [3,5]

样例输出：2 （选择点5,9即可）

2.贪心策略：把所有区间按照B从小到大排序，如果B相同，按照A从大到小排序，每次都取第一个区间中的最后一个点。

3.代码：

const int N=10000+10;
struct Node
{
    int L,R;
    bool operator<(const Node&rhs)const
    {
        return R<rhs.R||(R==rhs.R&&L>rhs.L);
    }
}a[N];

int main()
{
    int n;
    while(~scanf("%d",&n))
    {
        me(a);
        for(int i=0;i<n;i++)
            scanf("%d%d",&a[i].L,&a[i].R);
        sort(a,a+n);
        int ans=0,p=0;
        for(int i=0;i<n;i++)
        {
            if(p<a[i].L)
            {
                p=a[i].R;
                ans++;
            }
        }
        printf("%d\n",ans);
    }
}

三，区间覆盖问题

1.问题描述：数轴上有n个闭区间[Ai,Bi]，选择尽量少的区间覆盖一条指定的线段[s,t]。

样例输入：n=5, [1,6], [7,13], [8,9], [4,7], [5,8]，被覆盖的区间：[5,10]

样例输出：2 （选择第2,4即可完成覆盖）

2.贪心策略：首先进行预处理，把和[s,t]区间有交集的区间取出，按照A从小到大排序，如果第一个区间起点不是s，则无解；否则选择起点在s的最长的区间，新的起点设置为该区间的终点，然后继续重复上述过程，直到终点大于等于t结束。

3.代码：

略