BZOJ 1038 ZJOI 2008 瞭望塔 半平面交

题目大意：给出一个村庄的轮廓，在这个村庄里可以在任意的地方建一个瞭望塔，这个塔需要足够高，使得能够看得村庄的全貌。求这个瞭望塔的最小高度。

思路：对于村庄中的每一条边，瞭望塔为了看见它，必须要在这个直线左侧的半平面区域。这样的话为了满足所有的边的需求，做一次半平面交，瞭望塔的最高点必须在所有边的半平面交的区域内。

如下图样例。

所有边的半平面交区域就是上面的图形。设上面半平面的函数关系是F(x)，村长的函数关系是G(x)，那么问题就转化成了求一个x，使得(F(x) - G(x))最小。

这个要怎么做？枚举？都是实数怎么枚举？注意到上面和下面都是直线，由于一次函数的单调性，F(x) - G(x)的极值一定在直线的两端取得。这样我们只要枚举上下的线段的端点就可以了。

CODE：

#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iomanip>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define MAX 310
#define INF 1e11
#define EPS 1e-10
#define DCMP(a) (fabs(a) < EPS ? true:false)
using namespace std;

struct Point{
	double x,y;

	Point(double _ = .0,double __ = .0):x(_),y(__) {}
	Point operator -(const Point &a)const {
		return Point(x - a.x,y - a.y);
	}
	Point operator +(const Point &a)const {
		return Point(x + a.x,y + a.y);
	}
	Point operator *(double a)const {
		return Point(x * a,y * a);
	}
}point[MAX],p[MAX];

struct Line{
	Point p,v;
	double alpha;

	Line(Point _,Point __):p(_),v(__) {
		alpha = atan2(v.y,v.x);
	}
	Line() {}
	bool operator <(const Line &a)const {
		return alpha < a.alpha;
	}
}line[MAX],q[MAX];

int points,lines;

inline void MakeLine(const Point &a,const Point &b)
{
	line[++lines] = Line(a,b - a);
}

inline double Cross(const Point &a,const Point &b)
{
	return a.x * b.y - a.y * b.x;
}

inline bool OnLeft(const Line &l,const Point &p)
{
	return Cross(l.v,p - l.p) > 0;
}

inline Point GetIntersection(const Line &a,const Line &b)
{
	Point u = a.p - b.p;
	double temp = Cross(b.v,u) / Cross(a.v,b.v);
	return a.p + a.v * temp;
}

int HalfPlaneIntersection()
{
	int front = 1,tail = 1;
	q[1] = line[1];
	for(int i = 2; i <= lines; ++i) {
		while(front < tail && !OnLeft(line[i],p[tail - 1]))	--tail;
		if(DCMP(Cross(line[i].v,q[tail].v)))
			q[tail] = OnLeft(line[i],q[tail].p) ? q[tail]:line[i];
		else	q[++tail] = line[i];
		if(front < tail)	p[tail - 1] = GetIntersection(q[tail],q[tail - 1]);
	}
	return tail;
}

inline double GetAns(int cnt)
{
	double ans = INF;
	for(int i = 1; i < cnt; ++i) {
		double x = p[i].x;
		int pos;
		for(int j = 1;j < points; ++j)
			if(x <= point[j].x) {
				pos = j;
				break;
			}
		Point intersection = GetIntersection(Line(point[pos - 1],point[pos] - point[pos - 1]),Line(p[i],Point(0,1)));
		ans = min(ans,p[i].y - intersection.y);
	}
	for(int i = 1; i <= points; ++i) {
		double temp = .0;
		for(int j = 1; j <= cnt; ++j) {
			Point intersection = GetIntersection(q[j],Line(point[i],Point(0,1)));
			temp = max(temp,intersection.y - point[i].y);
		}
		ans = min(ans,temp);
	}
	return ans;
}

int main()
{
	cin >> points;
	for(int i = 1; i <= points; ++i)
		scanf("%lf",&point[i].x);
	for(int i = 1; i <= points; ++i)
		scanf("%lf",&point[i].y);
	for(int i = 1; i < points; ++i)
		MakeLine(point[i],point[i + 1]);
	sort(line + 1,line + lines + 1);
	int cnt = HalfPlaneIntersection();
	cout << fixed << setprecision(3) << GetAns(cnt) << endl;
	return 0;
}