小波变换

小波变换

         小波，一个神奇的波，可长可短可胖可瘦（伸缩平移），当去学习小波的时候，第一个首先要做的就是回顾傅立叶变换（又回来了，唉），因为他们都是频率变换的方法，而傅立叶变换是最入门的，也是最先了解的，通过傅立叶变换，了解缺点，改进，慢慢的就成了小波变换。主要的关键的方向是傅立叶变换、短时傅立叶变换，小波变换等，第二代小波的什么的就不说了，太多了没太多意义。当然，其中会看到很多的名词，例如，内积，基，归一化正交，投影，Hilbert空间，多分辨率，父小波，母小波，这些不同的名词也是学习小波路上的标志牌，所以在刚学习小波变换的时候，看着三个方向和标志牌，可以顺利的走下去，当然路上的美景要自己去欣赏（这里的美景就是定义和推导了）。因为内容太多，不是很重要的地方我都注释为（查定义）一堆文字的就是理论（可以大体一看不用立刻就懂），同时最下面也给了几个网址辅助学习。

一、基

           傅立叶变换和小波变换，都会听到分解和重构，其中这个就是根本，因为他们的变化都是将信号看成由若干个东西组成的，而且这些东西能够处理还原成比原来更好的信号。那怎么分解呢？那就需要一个分解的量，也就是常说的基，基的了解可以类比向量，向量空间的一个向量可以分解在x，y方向，同时在各个方向定义单位向量e1、e2，这样任意一个向量都可以表示为a=xe1+ye2，这个是二维空间的基，

                                                                    

           而对于傅立叶变换的基是不同频率的正弦曲线，所以傅立叶变换是把信号波分解成不同频率的正弦波的叠加和，而对于小波变换就是把一个信号分解成一系列的小波，这里时候，也许就会问，小波变换的小波是什么啊，定义中就是告诉我们小波，因为这个小波实在是太多，一个是种类多，还有就是同一种小波还可以尺度变换，但是小波在整个时间范围的幅度平均值是0，具有有限的持续时间和突变的频率和振幅，可以是不规则，也可以是不对称,很明显正弦波就不是小波，什么的是呢，看下面几个图就是

                                                                

           当有了基，以后有什么用呢?

           下面看一个傅立叶变换的实例：

           对于一个信号的表达式为x=sin(2*pi*t)+0.5*sin(2*pi*5*t); 

          这里可以看到是他的基就是sin函数，频率是1和5，下面看看图形的表示，是不是感受了到了频域变换给人的一目了然。

                                                               

           基具有非冗余性，即使基不是正交的，有相关性，但若去掉其中任何一个，则不成为基，这一点也叫完备性；基的表示有唯一性，即给定一族基对一个函数的表达是唯一的；一般情况下基非正交，也称为为exact frame（Resize basis），这个时候要表示信号可以将基正交化成唯一的正交基（对偶为其自身）；也可以求其对偶框架（dual frame），其对应了小波变换中的双正交情形！信号可以依框架分解，然后用对偶框架重构。若在基集里添加一些新的向量，并随意调整空间位置，则有可能成为框架。把函数与基或框架作内积，也可以说成是一种函数空间到系数空间的变换。若某种变换后的能量（内积的平方和度量）仍然有一个大于0的上下界，才可以成为框架，由于框架的冗余性，所以系数的表达也不具有唯一性。若上下界相等，则为紧框架，且界表示冗余度。若上下界相等为且为1，称为pasval identity frame，此时不一定为正交基（想象把一组正交基中某一个拆成两个同方向的基之和，则pasval identity仍然成立），此时若加上基的长度均为一的条件，则框架退化为正交基。可能你会问我们用基来表示信号就行了啊，为什么还要框架呢？其实很多信号表示方法不能构成基，却能构成框架，如短时傅立叶变换中如要求窗函数满足基条件，则可推出该函数有很差的时频局部化性质（事实上退化为了傅立叶变换。

二、内积

            在Hilbert空间(查定义)里看到这个东西，用来刻画两个向量的夹角，当内积为0时，两个向量正交，若g为Hilbert空间里的正交基的时候，内积为f向基上的正交投影；（Hilbert空间是一个很直观的空间，我一直都理解为欧氏空间去理解定义在其上的东西，L^2（平方可积，查定义）和l^2同样为Hilbert空间。

下面这个公式是基本，经过变形后会用在推导中：

                       

如果两个向量的内积为0 ，就说他们是正交的。

如果一个向量序列相互对偶正交，并且长度都为1，那么就说他们是正交归一化的。

对于,存在L2(R)上一组标准正交基gi(t),i=1,2,3….,使得

                                                                         

 L2（R）上任意一个函数f（t）都可以由L2(R)上的一个规范正交基gi(t)进行线性组合表示出来

三、傅立叶的缺点

先列举出来缺点，然后再说明：

（1）    Fourier分析不能刻画时间域上信号的局部特性

（2）    Fourier分析对突变和非平稳信号的效果不好，没有时频分析

        傅立叶变换傅立叶变换将函数投影到三角波上，将函数分解成了不同频率的三角波，这不能不说是一个伟大的发现，但是在大量的应用中，傅立叶变换的局限性却日趋明显，事实上在光滑平稳信号的表示中，傅立叶基已经达到了近似最优表示，但是日常生活中的信号却并不是一直光滑的，而且奇异是平凡的，傅立叶在奇异点的表现就着实让人不爽，从对方波的傅立叶逼近就可以看出来，用了大量不同频率的三角波去逼近其系数衰减程度相当缓慢，而且会产生Gibbs效应。其内在的原因是其基为全局性基，没有局部化能力，以至局部一个小小的摆动也会影响全局的系数。实际应用中很需要时频局部化，傅立叶显然缺乏此能力了。即使如此，由于其鲜明的物理意义和快速计算，在很多场合仍然应用广泛。傅立叶变换在从连续到离散的情形是值得借鉴与学习的，大家都知道，时间周期对应频域离散，时间离散对应频域周期，时间离散周期对应频域离散 周期，DFT其实是将离散信号做周期延拓然后做傅立叶变换再截取一个周期，反变换同样如此，所以DFT用的是块基的概念，这样如果信号两端的信号连接后不再光滑（即使两边都光滑），同样会在边界上产生大幅值系数（边界效应），延伸到图像中就是块效应。当对信号做对称周期延拓后再做傅立叶变换得到的正弦系数全部为0，也就是任何对称函数可以写成余弦的线性组合，同样按照离散的思路构造得到的是离散块余弦基，即DCT变换，虽然DCT可以通过对称后周期延拓再变换减少了边界效应（两边信号接上了，但不一定平滑），但任不能消除块效应，尤其是图像变换中人为将图像分成8*8处理后块效应更加明显。但是DCT很好的能量聚集效应让人惊奇，加之快速计算方法使它替代DFT成为图像的压缩的标准了很长时间（JPEG）。

           上面一堆文字也许看的有点蒙，还是用图来说明

          第一个就是傅立叶变换是整个时域，所以没有局部特征，这个也是他的基函数决定的看图，同时如果在时域张有了突变，那么在频域就需要大量的三角波去拟合，这也是傅立叶变换性质决定的。

         第二个就是面对非平稳信号，傅立叶变换可以看到由哪些频域组成，但是不知道各成分对应的时刻是什么，也就是没有时频分析，看不出来信号频域随着时间变换的情况，反过来说就是，一个的频图对应好几个时域图，不知道是哪个，这个在实际应用中就不好了，看图

                                  

 

          做FFT后，我们发现这三个时域上有巨大差异的信号，频谱（幅值谱）却非常一致。尤其是下边两个非平稳信号，我们从频谱上无法区分它们，因为它们包含的四个频率的信号的成分确实是一样的，只是出现的先后顺序不同。

        可见，傅里叶变换处理非平稳信号有天生缺陷。它只能获取一段信号总体上包含哪些频率的成分，但是对各成分出现的时刻并无所知。因此时域相差很大的两个信号，可能频谱图一样。

        然而平稳信号大多是人为制造出来的，自然界的大量信号几乎都是非平稳的，所以在比如生物医学信号分析等领域的论文中，基本看不到单纯傅里叶变换这样naive的方法。

                                  

   上图所示的是一个正常人的事件相关电位。对于这样的非平稳信号，只知道包含哪些频率成分是不够的，我们还想知道各个成分出现的时间。知道信号频率随时间变化的情况，各个时刻的瞬时频率及其幅值——这也就是时频分析。

三、短时傅立叶变换（Short-time Fourier Transform,STFT）

            有了缺点就要改进了，这里就出来了短时傅立叶变换，也叫加窗傅立叶变换，顾名思义，就是因为傅立叶变换的时域太长了，所以要弄短一点，这样就有了局部性。

          定义：把整个时域过程分解成无数个等长的小过程，每个小过程近似平稳，再傅里叶变换，就知道在哪个时间点上出现了什么频率了。”这就是短时傅里叶变换。下面就是示意图

                                  

          时域上分成一段一段做FFT，不就知道频率成分随着时间的变化情况了吗！

         可能理解这一点最好的方式是举例子。首先，因为我们的变换是对时间和频率的函数（不像傅立叶变换，仅仅是对频率的函数），它是二维的（如果加上幅度则是三维）。以下图所示的非平稳信号为例：

                               

   在这个信号中，在不同时刻有四个频率分量。0-250ms内信号的频率为300Hz，其余每个250ms的间隔的信号频率分别为200Hz，100Hz和50Hz。很明显，这是一个非平稳信号，让我们看一看它的短时傅立叶变换：用这样的方法，可以得到一个信号的时频图了：

                              

        图上既能看到10Hz, 25 Hz, 50 Hz, 100 Hz四个频域成分，还能看到出现的时间。两排峰是对称的，所以大家只用看一排就行了。

看着貌似解决了问题，好像有了局部性，但是这个名字叫做加窗傅立叶变换，那么这个窗要多大了呢？

窗太窄，窗内的信号太短，会导致频率分析不够精准，频率分辨率差。

窗太宽，时域上又不够精细，时间分辨率低。

                                

                          

（这里插一句，这个道理可以用海森堡不确定性原理来解释。类似于我们不能同时获取一个粒子的动量和位置，我们也不能同时获取信号绝对精准的时刻和频率。这也是一对不可兼得的矛盾体。我们不知道在某个瞬间哪个频率分量存在，我们知道的只能是在一个时间段内某个频带的分量存在。所以绝对意义的瞬时频率是不存在的。）

                         

                        

                         

         上图对同一个信号（4个频率成分）采用不同宽度的窗做STFT，结果如右图。用窄窗，时频图在时间轴上分辨率很高，几个峰基本成矩形，而用宽窗则变成了绵延的矮山。但是频率轴上，窄窗明显不如下边两个宽窗精确。

          所以窄窗口时间分辨率高、频率分辨率低，宽窗口时间分辨率低、频率分辨率高。

          对于时变的非稳态信号，高频适合小窗口，低频适合大窗口。然而STFT的窗口是固定的，在一次STFT中宽度不会变化，所以STFT还是无法满足非稳态信号变化的频率的需求。

四、小波变换

          真是千呼万唤才出来了，终于看见小波了啊。

           这里先引入小波，回顾一下基，然后再看看小波的优点，其实就是上面傅立叶缺点的解决。

           对于加窗傅立叶变换让人头疼的就是窗口的大小问题，如果我们让窗口的大小可以改变，不就完美了吗？答案是肯定的，小波就是基于这个思路，但是不同的是。STFT是给信号加窗，分段做FFT；而小波变换并没有采用窗的思想，更没有做傅里叶变换。小波直接把傅里叶变换的基给换了——将无限长的三角函数基换成了有限长的会衰减的小波基。这样不仅能够获取频率，还可以定位到时间了~

          这里就又回到了最开始的基了。

          这个基函数会伸缩、会平移（其实是两个正交基的分解）。缩得窄，对应高频；伸得宽，对应低频。然后这个基函数不断和信号做相乘。某一个尺度（宽窄）下乘出来的结果，就可以理解成信号所包含的当前尺度对应频率成分有多少。于是，基函数会在某些尺度下，与信号相乘得到一个很大的值，因为此时二者有一种重合关系。那么我们就知道信号包含该频率的成分的多少。如前边所说，小波做的改变就在于，将无限长的三角函数基换成了有限长的会衰减的小波基。效果如下图

                                       

现在来看一下小波公式

                            

从公式可以看出，不同于傅里叶变换，变量只有频率ω，小波变换有两个变量：尺度a（scale）和平移量 τ（translation）。尺度a控制小波函数的伸缩，平移量 τ控制小波函数的平移。尺度就对应于频率（反比），平移量 τ就对应于时间。如下图

                               

         当伸缩、平移到这么一种重合情况时，也会相乘得到一个大的值。这时候和傅里叶变换不同的是，这不仅可以知道信号有这样频率的成分，而且知道它在时域上存在的具体位置。

         而当我们在每个尺度下都平移着和信号乘过一遍后，我们就知道信号在每个位置都包含哪些频率成分。

 看到了吗？有了小波，我们从此再也不害怕非稳定信号啦！从此可以做时频分析啦！

（1） 解决了局部性

         

（2）解决时频分析

做傅里叶变换只能得到一个频谱，做小波变换却可以得到一个时频谱！

   

时域信号                                           傅立叶变换结果                                                小波变换结果

五、小波的深入

             上面那么多，也就是走进小波的大门，具体的我们还要学习子空间、多分辨率，母小波的变换，如何去构造想要的小波函数，然后还有离散小波变换，正交小波变换，二维小波变换，小波包的应用（这里没有介绍可以自己看资料）。好像还有很多要学习的。

这里先深入一下，父小波和母小波，多分辨率分析，了解一下伸缩和平移。

         任何小波变换的基函数，其实就是对母小波和父小波缩放和平移的集合。首先要看的就是多分辨率分析。

每个小波变换都会有一个mother wavelet，我们称之为母小波，同时还有一个father wavelet，就是scaling function。而该小波的basis函数其实就是对这个母小波和父小波缩放和平移形成的。缩放倍数都是2的级数，平移的大小和当前其缩放的程度有关。

        还讲到，小波系统有很多种，不同的母小波，衍生的小波基就完全不同。小波展开的近似形式是这样：

                                                                           

    其中的就是小波级数，这些级数的组合就形成了小波变换中的基basis。和傅立叶级数有一点不同的是，小波级数通常是orthonormal basis，也就是说，它们不仅两两正交，还归一化了。

     我们还讲了一般小波变换的三个特点，就是小波级数是二维的，能定位时域和频域，计算很快。但我们并没有深入讲解，比如，如何理解这个二维？它是如何同时定位频域和时域的？

      在这一篇文章里，我们就来讨论一下这些特性背后的原理。 

      首先，我们一直都在讲小波展开的近似形式。那什么是完整形式呢？之前讲到，小波basis的形成，是基于基本的小波函数，也就是母小波来做缩放和平移的。但是，母小波并非唯一的原始基。在构建小波基函数集合的时候，通常还要用到一个函数叫尺度函数，scaling function，人们通常都称其为父小波。它和母小波一样，也是归一化了，而且它还需要满足一个性质，就是它和对自己本身周期平移的函数两两正交：

 

                                

                               

       另外，为了方便处理，父小波和母小波也需要是正交的。可以说，完整的小波展开就是由母小波和父小波共同定义的。

                    

                       

       其中ψ(t)是母小波，是父小波。需要提醒一点的是，这个正交纯粹是为了小波分析的方便而引入的特性，并不是说小波变换的基就一定必须是正交的。但大部分小波变换的基确实是正交的，所以本文就直接默认正交为小波变换的主要性质之一了。引入这个父小波呢，主要是为了方便做多解析度分析（multiresolution analysis, MRA）。说到这里，你的问题可能会井喷了：好好的为什么出来一个父小波呢？这个scaling function是拿来干嘛的？它背后的物理意义是什么？waveletfunction背后的物理意义又是什么？这个多解析度分析又是什么呢？不急，下面，我们围绕一个例子来巩固一下前面的知识，同时再引出新的特性。

    假设我们有这样一个信号：

    

                 

         该信号长度为8，是离散的一维信号。我们要考虑的，就是如何用小波将其展开。为了方便讲解，我们考虑最简单的一种小波，哈尔小波。下面是它的一种母小波：

                 

那如何构建基于这个母小波的基呢？刚才提到了，要缩放，要平移。我们先试试缩放，那就是ψ(2n)：

                               

但这样的话，它与自己的内积就不是1了，不符合小波基orthonormal的要求，所以我们要在前面加一个系数根号二，这样我们就得到了另一个哈尔小波的basis function：

                                 

          同理，我们可以一直这样推广下去做scale，得到4n，8n，…….下的basis function。当然在这个例子里，我们信号长度就是8，所以做到4n就够了。但推广来说，就是这种scaling对母小波的作用为，这是归一化后的表示形式。

       平移的话也很简单，我们可以对母小波进行平移，也可以对scale之后的basis function进行平移。比如对上一幅图中的basis function进行平移，就成了

                                       

       看得出来，平移后的basis function和母小波以及仅仅scale过的小波，都是正交的，附合小波basis的特点。如果我们用ψ(n)来表示这个mother wavelet，那么这些orthonormal basis函数可以写成：

                                                 

        这里的k是可以看成时域的参数，因为它控制着小波基时域的转移，而j是频域的参数，因为它决定了小波基的频率特性。看到这里，你应该会感觉很熟悉，因为这里的平移和变换本质和刚才对scaling function的平移变换是一模一样的。

这样，我们就有了针对此信号space的哈尔小波basis组合：

                             

        可以看出，我们用到了三层频率尺度的小波函数，每往下一层，小波的数量都是上面一层的两倍。在图中，每一个小波基函数的表达形式都写在了波形的下面。

        等等，你可能已经发现了，有问题。这里为什么多了个没有函数表达式的波形呢？这货明显不是wavelet function阿。没错，它是之前提到的scaling function，也就是父小波。然后你可能就会问，为啥这个凭空插了一个scaling function出来呢？明明目标信号已经可以用纯的小波基组合表示了。是，确实是，就算不包括scaling function，这些小波函数本身也组成了正交归一基，但如果仅限于此的话，小波变换也就没那么神奇的功效了。引入这个scaling function，才能引入我们提到的多解析度分析的理论，而小波变换的强大，就体现在这个多解析度上。那在这里，我们怎么用这个多解析度呢？这个哈尔小波basis组合是怎么通过多解析度推导出来的呢？

        话说在数学定义中，有一种空间叫Lebesgue空间，对于信号处理非常重要，可以用L^p(R)表示，指的是由p次可积函数所组成的函数空间。我们在小波变换中要研究的信号都是属于L^2(R)空间的，这个空间是R上的所有处处平方可积的可测函数的集合，这样就等于对信号提出了一个限制，就是信号能量必须是有限的，否则它就不可积了。小波变换的定义都是基于但不限于L^2(R)中的信号的。这玩意的特性要具体解释起来太数学了，牵涉到太多泛函知识，我就不在这里详述了。而且老实说我也没能力完全讲清楚，毕竟不是学这个的，有兴趣可以参考wiki。总之你记住，小波变换研究中所使用的信号基本都是平方可积的信号，但其应用不限于这种信号，就行了。

    对L^2(R)空间做MRA是在干嘛呢？就是说，在L^2(R)空间中，我们可以找出一个嵌套的空间序列，并有下列性质：

       我来简单解释一下这些性质。这个V_j都是L^2(R)空间中的子空间，然后他们是由小到大的，交集是{0}，因为这是最小的子空间，并集就是L空间。是不是有点难以理解？没关系，看看下面这个图就清楚了：

                                                     

      这个图是圈圈套圈圈，最里面的圈是V0，之后分别是V1，V2，V3，V4 。那他们有趣的性质就是，假如有一个函数f(t)他属于一个某空间，那你将其在时域上平移，它还是属于这个空间。但如果你对它频域的放大或缩小，它就会相应移到下一个或者上一个空间了。

       同时我们还知道，你要形容每一个空间的话，都需要有对应的orthonormal basis，这是必然的，那对于V0来讲，它的orthonormal basis就是

                                

       这一系列函数是什么呢？是的时域变换，而且我们刚才也说了，时域上平移，是不会跳出这个空间的。这样，我们就可以说，由这一系列basis所定义的L^2(R)子空间V0被这些basis所span，表示成：

                              

       k从负无穷到正无穷。上面的bar表示这是一个闭包空间，也就是说

                        

       这样，我们就定义了基本的V0这个子空间。刚才说了，这个子空间的基都是对的整数时域变换，这里我们称为scalingfunction，所以换个说法，就是说这里整个子空间V0，由scalingfunction和其时域变换的兄弟们span。

      当然，如果这个scaling function只是用来代表一个子空间的，那它的地位也就不会这么重要了。刚才我们提到，这个嵌套空间序列有一个性质，。这就是这个函数，如果你对它频域的放大或缩小，它就会相应移到下一个或者上一个空间了。这个性质就有意思了，它代表什么呢？对于任何一个包含V0的更上一层的空间来讲，他们的基都可以通过对scaling function做频域的scale后再做时域上的整数变换得到！推广开来就是说，当

               

我们有    

这也就意味着，对于任何属于V_j空间的函数f(t)，都可以表示为：

                 

          到这里，我们就明白这些个子空间和那个凭空冒出来的scaling function的作用了。scaling的构建这些不同的子空间的基础，当j越大的时候，每一次你对频率变换后的scaling function所做的时域上的整数平移幅度会越小，这样在这个j子空间里面得到的f(t)表示粒度会很细，细节展现很多。反之亦然。通俗点说，就是对scaling function的变换平移给你不同的子空间，而不同的子空间给你不同的分辨率，这样你就可以用不同的分辨率去看目标信号。

        下面就是时候看看什么是MRA equation了，这是更加有趣，也是更加核心的地方。通过刚才的讲解，V0属于V1，那scaling function是在V0中的，自然也在V1中了。我们把他写成V1的基的线性组合，那就是

                

        其中的h(n)是scaling function的系数，也叫做scaling filter或者scaling vector，可以是实数，也可以是虚数。根号2是为了维持norm为1的。看，在这个公式里，我们就把属于V0的函数用V1的基表示出来了。同理，我们可以循环如此，把属于V0的在V2,V3, …, Vn中表示出来。这些方程就是MRA equation，也叫refinement equation，它是scaling function理论的基础，也是小波分析的基础之一。

        好，稍微总结一下。到现在，已经讲了关于scaling function的基本理论知识，知道了信号空间可以分为不同精细度的子空间，这些子空间的basis集合就是scaling function或者频率变换之后的scaling function，如下图所示：

                                  

上图就是四个子空间的basis集合的展览。通过前面的讨论，我们还知道，一开始的scalingfunction可以通过更精细的子空间的scaling function（它们都是对应子空间的basis）来构建。比如

                                

对于更加finer的scale：

                                       

       依此类推。实际上，对于任何scale和translate过的scaling function，都可以用更加精细的scale层面上的scaling function构建出来。

        然后，我们有各种scale下的scaling function了，该看看它们分别所对应的嵌套的空间序列了。先看看V0，自然就是以基本的scaling function为基础去span出来的：

                                   

          这个不新鲜，刚才就讲过了。这个子空间代表什么样的信号？常量信号。道理很简单，这个scaling function在整个信号长度上，没有任何变化。继续往下看：

                               

这个相比V0更加finer的子空间，代表着这样一种信号，它从1-4是常量，从5-8是另一个常量。同理我们有：

                            

            V2代表的信号，是分别在1，2; 3，4; 5，6; 7，8上有相同值的信号。那么V3呢？则表示任何信号，因为对于V3来讲，任何一个时间刻度上的值都可以不一样。而且现在，我们也可以通过上面的一些scaling functions的波形验证了之前提到的多解析度分析中的一个核心性质，那就是：

                         

      我们之前讲了一堆多解析度的理论，但直到现在，通过这些图形化的分析，我们可能才会真正理解它。那好，既然我们有一个现成的信号，那就来看看，对这个信号作多解析度分析是啥样子的：

                                            

             你看，在不同的子空间，对于同一个信号就有不同的诠释。诠释最好的当然是V3，完全不损失细节。这就是多解析度的意义。我们可以有嵌套的，由scalingfunction演变的basis function集合，每一个集合都提供对原始信号的某种近似，解析度越高，近似越精确。

           说到这里，可能你对scaling function以及多解析度分析已经比较理解了。但是，我们还没有涉及到它们在小波变换中的具体应用，也就是还没有回答刚才那个问题：凭空插了一个scaling function到小波basis组合中干嘛。也就是说，我们希望理解scaling function是怎么和小波函数结合的呢，多解析度能给小波变换带来什么样的好处呢。这其实就是是小波变换中的核心知识。理解了这个，后面的小波变换就是纯数学计算了。

好，我们已经知道，对于子空间V0，basis是scalingfunction：

看出什么规律了么？多看几次这三个图，你会惊讶地发现，在V0中的scaling function和wavelet function的组合，其实就是V1中的basis！继续这样推导，V1本来的的basis是：

         他们的组合，本质上也就是V2的basis（参考图2）。你继续推导下去，会得到同样的结论：在scale j的wavelet function，可以被用来将Vj的basis扩展到V(j+1)中去！这是一个非常非常关键的性质，因为这代表着，对任何一个子空间Vj，我们现在有两种方法去得到它的orthonormal basis：

1. 一种就是它本来的basis ，对任意k。

2. 第二种就是它上一个子空间的basis，对任意k，以及上一级子空间的wavelet function ，对任意k。

       第二种选择能给我们带来额外的好处，那就是我们可以循环不断地用上一级子空间的scaling function以及wavelet function的组合来作为当前子空间的基。换句话说，如果针对V3这个子空间，它实际上就有四种不同的，但是等价的orthonormal basis：

1. 本级(V3)的scalingfunction basis set

2. 上一级(V2)的scalingfunction + wavelet function;

3 . 上上一级(V1)的scalingfunction + 上上一级(V1)的waveletfunction + 上一级(V2)的waveletfunction;

4. 上上上一级(V0)的scalingfunction + 上上上一级(V0)的waveletfunction + 上上一级(V1)的waveletfunction + 上一级(V2)的waveletfunction

          好，看看最后一种选取方式，有没有感到眼熟？对了，它就是我们之前提到的“针对此信号space的哈尔小波basis组合”，参见图1。现在我们知道了，这个scalingfunction不是凭空插进去的，而是通过不断的嵌套迭代出来的：

      那为什么我们最后选定的是这种选取方式呢？实际上，刚才介绍的这个性质已经告诉我们，对于任何的scale j0，我们都可以给我们的signal space找到一组orthonormal basis，这个basis是通过组合scale j0上的scaling function以及所有在scale j，j>=j0上的wavelets得到的。这样，基于这个orthonormal basis，

所有信号空间中的信号都可以写成组成这个basis的functions的线性组合：

对应的系数的计算和平常一样：

这，就是最终的，也是最核心的，小波变换形式。不管是信号压缩，滤波，还是别的方式处理，只要是用小波变换，都逃不出这个基础流程：

1. 选取合适的wavelet function和scaling function，从已有的信号中，反算出系数c和d。

2. 对系数做对应处理

3. 从处理后的系数中重新构建信号。

      这里的系数处理是区别你的应用的重点。比如图像或者视频压缩，就希望选取能将能量聚集到很小一部分系数中的小波，然后抛弃那些能量很小的小波系数，只保留少数的这些大头系数，再反变换回去。这样的话，图像信号的能量并没有怎么丢失，图像体积却大大减小了。

      还有一个没有解释的问题是，为什么要强调尺度函数和小波函数组成一个orthonormal basis呢？计算方便是一方面，还有一个原因是，如果他们满足这个性质，就满足瑞利能量定理，也就是说，信号的能量，可以完全用每个频域里面的展开部分的能量，也就是他们的展开系数表示：

         到这里，我们对小波变换的形式就讲完了。虽然是用的最简单的哈尔小波为例子，但举一反三即可。我们着重介绍了多解析度分析以及它给小波变换带来的杀手锏：时域频域同时定位。结束之前，再多说几句小波变换的意义。我们拿刚才例子中V3子空间的第二种可选择的orthonormal basis作为例子：

                                

           左边这四个basis组成元素，也就是scaling functions，的系数，表征的是信号的local平均（想想它们和信号的内积形式），而右边的这四个basis组成元素，也就是wavelet functions，的系数则表征了在local平均中丢失的信号细节。得益于此，多解析度分析能够对信号在越来越宽的区域上取平均，等同于做低通滤波，而且，它还能保留因为平均而损失的信号细节，等同于做高通滤波！这样，我们终于可以解释了wavelet function和scaling function背后的物理意义了：wavelet function等同于对信号做高通滤波保留变化细节，而scalingfunction等同于对信号做低通滤波保留平滑的shape！

       对小波变换的基础知识，我们就讲到这里。需要注意的是，这只是小波变换最基本最基本的知识，但也是最核心的知识。看完这里其实就是回到了最开始的介绍：小波变换是把信号分解成一系列的小波（经过原始小波伸缩和平移得到的），这里就告诉了我们伸缩和平移

六、小波的应用

         小波是多分辨率理论的分析基础。而多分辨率理论与多种分辨率下的信号表示和分析有关，其优势很明显--某种分辨率下无法发现的特性在另一个分辨率下将很容易被发现。从多分辨率的角度来审视小波变换，虽然解释小波变换的方式有很多，但这种方式能简化数学和物理的解释过程。

      对于小波的应用很多，我学习的的方向主要是图像处理，所以这里用图像的应用来举例。对于图像，要知道量化级数决定了图像的分辨率，量化级数越高，图像越是清晰，图像的分辨率就高。

例一，哈尔小波图像分解

                    

例二，  小波去噪平滑

                   

  

例三，  小波的边缘检测

                     

 

       小波的知识还有很多，可以再继续看书学习，希望看到这个文章，可以对小波入门的同学有一定的帮助，下面给出几个不错的网站可以辅助学习

http://blog.163.com/renfengyuee@126/blog/static/35943136201091274316370/

http://www.zhihu.com/question/22864189

http://users.rowan.edu/~polikar/WAVELETS/WTtutorial.html

http://blog.csdn.net/wanglang3081/article/details/17751805