图论专题总结

ACM课程的最后一个专题，图论，其实这个专题还是比较有意思的，不过因为最后课时紧张，讲的也不是很详细。对于图也只是学个皮毛，因为快到期末考试了，题目做的也不是很多，其实还是学的东西不深，后面题目一难就不会做了。

一般图的问题都是根据路径求最小的问题，例如最短路程，最小花费等等。首先是并查集的问题，简单来说就是合并两个不相交的集合，这类题目有两个步骤。查找与合并，查找查的就是属于哪个集合，之后合并。因此做这类题目的时候需要两个函数分别实现查找和合并的功能。例如Problem C，把路连接起来的畅通工程的题就是典型的并查集。

之后是最小生成树的问题，这个问题主要是解决路径带权值的问题。求最小生成树主要有两个算法，prim算法与kruskal算法。对于Prim算法就是任取一个顶点加入生成树；在那些一个端点在生成树里，另一个端点不在生成树里的边中，取权最小的边，将它和另一个端点加进生成树。重复上一步骤，直到所有的顶点都进入了生成树为止。一般prim算法用邻接矩阵存储图，虽然Prim算法很难理解也比较复杂，不过代码重用性很高，只要把图建好，用同一个Prim算法大都能解决。本次专题的Problem A B C D E等都可以用同一个Prim函数解决，唯一有所变动的就是主函数建图的过程以及一些数据类型的变换。对于Kruskal算法思想就是对所有边从小到大排序，依次试探将边和它的端点加入生成树，如果加入此边后不产生圈，则将边和它的端点加入生成树，否则，将它删去。直到生成树中有了n-1条边，即告终止。也就是有点贪心的意思，一般用链表的形式来存储图的数据。

最后一节课讲的内容有点多，吸收不了。一口气讲了4个算法。分别是Bellman-ford算法。spfa算法，dijkstra算法，floyd-washall算法，这几个算法都是为了解决类似，给出两个点求出最短路径的问题。常用的就是dijkstra算法，主要思想设置一个集合S存放已经找到最短路径的顶点，S的初始状态只包含源点v，对vi∈V-S，假设从源点v到vi的有向边为最短路径。以后每求得一条最短路径v,…, vk，就将vk加入集合S中，并将路径v,…, vk, vi与原来的假设相比较，取路径长度较小者为最短路径。重复上述过程，直到集合V中全部顶点加入到集合S中。但是他有自身的局限性，就是不能处理负权值。对于负权值的问题用bellman算法，来弥补。spfa算法就是更加优化了bellman算法。总的来说就是

Dijkstra 算法的效率高，但是也有局限性，就是对于含负权的图无能为力。
Bellman-Ford 算法对于所有最短路长存在的图都适用，但是效率常常不尽人意。
SPFA 算法可以说是综合了上述两者的优点。它的效率同样很不错，而且对于最短路长存在的图都适用，无论是否存在负权。它的编程复杂度也很低，是性价比极高的算法。

最后也是最简单的floyd算法，就是用的三重循环看经过某一个节点是不是与不经过他更短。例如Problem I M N。都是用这种算法写的。应为比较简单，理解起来，写起来都很简单。