Stree 解题报告

Stree

题目描述

给出n个点,m条有权边,现对于每一条边,你需要回答出包含这条边的最小生成树的总边权值。

输入格式

第一行两个数n,m
接下来m行i,j,k,表示i与j间有一条权值为k的边

输出格式

m行答案。

样例输入

5 7
1 2 3
1 3 1
1 4 5
2 3 2
2 5 3
3 4 2
4 5 4

样例输出

9
8
11
8
8
8
9

数据范围

30% n<=1000
100% n,m<=200000

题解

首先,这道题是一道码农题,根据题目给出的边,我们先构造一棵最小生成树,那么构成这个最小生成树的n-1条边对应的答案自然就是这个生成树的边权和 S ,这样,我们就解决了n-1个询问。

那么,关于剩下的边的询问怎么算答案呢?

假设我们构造的最小生成树如下,我们将要进行的询问的边为(X,Y)

如果,我们选择(X,Y)这条边,那么此最小生成树便会变成一个环上上很多棵树的图。
就如下图:

Stree 解题报告_第1张图片

绿色的边加上橙色的边(边XY)构成的即为环,不能看出绿色的边即为点X和点Y到他们的lca(最近公共祖先)的路径,然后我们的目标就是在路径上删掉一条边,使得此图再次成为一棵树,为了使答案最优,我们要选一条边权最大的边作为被删的边,用倍增算法求lca,在求lca的时候顺带记录一下跳过的那些边权的最大值即可。

那么答案即为 S + cost ( X , Y )- edge weightmax

Code(Pascal)

var
    bz:array[0..200010] of boolean;
    fa,en,sd:array[0..200010] of longint;
    f,mx:array[0..200010,0..20] of int64;
    bj:array[0..400010,1..3] of int64;
    yb:array[0..400010,1..4] of int64;
    tj:array[0..200010] of int64;
    n,m,j,k,l,i,o,p,f1,f2,jx:longint;
    ans:int64;
function max(a,b:int64):int64;
    begin
        if a>b then exit(a)
        else exit(b);
    end;
function min(a,b:int64):int64;
    begin
        if a<b then exit(a)
        else exit(b);
    end;
function search(o:longint):longint;
    begin
        if fa[o]=o then exit(o);
        fa[o]:=search(fa[o]);
        exit(fa[o]);
    end;
procedure qsortyb(l,r:longint);
    var
        i,j:longint;
        m:int64;
    begin
        i:=l;
        j:=r;
        m:=yb[(l+r) div 2,3];
        repeat
            while yb[i,3]<m do inc(i);
            while yb[j,3]>m do dec(j);
            if i<=j then
            begin
                yb[0]:=yb[i];
                yb[i]:=yb[j];
                yb[j]:=yb[0];
                inc(i);
                dec(j);
            end;
        until i>j;
        if l<j then qsortyb(l,j);
        if i<r then qsortyb(i,r);
    end;
procedure add(X,Y,Z:INT64);
    begin
        inc(en[x]);
        inc(en[y]);
        inc(o);
        bj[o,1]:=x;
        bj[o,2]:=y;
        bj[o,3]:=z;
        inc(o);
        bj[o,1]:=y;
        bj[o,2]:=x;
        bj[o,3]:=z;
    end;
procedure bh;
    var
        i,k:longint;
    begin
        randomize;
        for i:=1 to o div 2 do
        begin
            k:=i+random(o div 2);
            bj[0]:=bj[k];
            bj[k]:=bj[i];
            bj[i]:=bj[0];
        end;
    end;
procedure qsort(l,r:longint);
    var
        i,j,m:longint;
    begin
        i:=l;
        j:=r;
        m:=bj[(l+r) div 2,1];
        repeat
            while bj[i,1]<m do inc(i);
            while bj[j,1]>m do dec(j);
            if i<=j then
            begin
                bj[0]:=bj[i];
                bj[i]:=bj[j];
                bj[j]:=bj[0];
                inc(i);
                dec(j);
            end;
        until i>j;
        if l<j then qsort(l,j);
        if i<r then qsort(i,r);
    end;
procedure dg(o:longint);
    var
        i,j,m:longint;
    begin
        j:=0;
        while f[f[o,j],j]>0 do
        begin
            f[o,j+1]:=f[f[o,j],j];
            mx[o,j+1]:=max(mx[o,j],mx[f[o,j],j]);
            inc(j);
        end;
        for i:=en[o-1]+1 to en[o] do
        if bj[i,2]<>f[o,0] then
        begin
            f[bj[i,2],0]:=o;
            mx[bj[i,2],0]:=bj[i,3];
            sd[bj[i,2]]:=sd[o]+1;
            dg(bj[i,2]);
        end;
    end;
function xz(x,y:longint):int64;
    var
        k:longint;
        p:int64;
    begin
        k:=jx;
        p:=0;
        if sd[x]<sd[y] then
        while k>=0 do
        begin
            if sd[f[y,k]]>=sd[x] then
            begin
                p:=max(p,mx[y,k]);
                y:=f[y,k];
            end;
            dec(k);
        end;
        if sd[x]>sd[y] then
        while k>=0 do
        begin
            if sd[f[x,k]]>=sd[y] then
            begin
                p:=max(p,mx[x,k]);
                x:=f[x,k];
            end;
            dec(k);
        end;
        k:=jx;
        while (k>=0) do
        begin
            if f[x,k]<>f[y,k] then
            begin
                p:=max(p,mx[x,k]);
                p:=max(p,mx[y,k]);
                x:=f[x,k];
                y:=f[y,k];
            end;
            dec(k);
        end;
        while x<>y do
        begin
            p:=max(p,mx[x,0]);
            p:=max(p,mx[y,0]);
            x:=f[x,0];
            y:=f[y,0];
        end;
        exit(p);
    end;
begin
    assign(input,'street.in'); reset(input);
    assign(output,'street.out'); rewrite(output);
    readln(n,m);
    jx:=min(20,trunc(ln(n)/ln(2))+1);
    for i:=1 to m do
    begin
        readln(yb[i,1],yb[i,2],yb[i,3]);
        yb[i,4]:=i;
    end;
    for i:=1 to n do
    fa[i]:=i;
    qsortyb(1,m);
    ans:=0;
    for i:=1 to m do
    if search(yb[i,1])<>search(yb[i,2]) then
    begin
        f1:=search(yb[i,1]);
        f2:=search(yb[i,2]);
        fa[f2]:=f1;
        ans:=ans+yb[i,3];
        add(yb[i,1],yb[i,2],yb[i,3]);
        bz[i]:=true;
    end;
    for i:=1 to n do
    en[i]:=en[i-1]+en[i];
    bh;
    qsort(1,o);
    sd[1]:=1;
    dg(1);
    for i:=1 to m do
    if bz[i] then tj[yb[i,4]]:=ans
    else tj[yb[i,4]]:=ans+yb[i,3]-xz(yb[i,1],yb[i,2]);
    for i:=1 to m do
    writeln(tj[i]);
    close(input);
    close(output);
end.

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