网络流24题7. 试题库问题

试题库问题

Description

假设一个试题库中有 n 道试题。每道试题都标明了所属类别。同一道题可能有多个类别属性。现要从题库中抽取 m 道题组成试卷。并要求试卷包含指定类型的试题。试设计一个满足要求的组卷算法。

Input

第1行有2个正整数n和k (2 <= k <= 20, k <= n <= 1000) k 表示题库中试题类型总数，n 表示题库中试题总数。第 2 行有 k 个正整数，第 i 个正整数表示要选出的类型 i 的题数。这 k 个数相加就是要选出的总题数 m。接下来的 n 行给出了题库中每个试题的类型信息。每行的第 1 个正整数 p 表明该题可以属于 p 类，接着的 p 个数是该题所属的类型号。

Output

文件第 i 行输出“i：”后接类型 i 的题号。如果有多个满足要求的方案，只要输出 1 个方案。如果问题无解，则输出“No Solution!”。

Sample Input

3 15
3 3 4
2 1 2
1 3
1 3
1 3
1 3
3 1 2 3
2 2 3
2 1 3
1 2
1 2
2 1 2
2 1 3
2 1 2
1 1
3 1 2 3

Sample Output

1: 1 6 8
2: 7 9 10
3: 2 3 4 5

题解

由于spj问题，将数据改为了判定能否找到组卷方式。
将每道题目作为X集合中的点，每个类别作为Y集合中的点。
1.从S向Xi连一条容量为1的边。
2.从Yi向T连一条容量为该类别所需题数的边。
3.若试题i属于类别j，Xi向Yj连一条容量为1的边。
最大流等于需要的总题目数既可以，满流边 <Xi,Yj> 代表试题i作为类别j的试题选入卷子中。
考虑正确性，X，Y集合之间的边容量全部是1，保证两个点只能匹配一次，源汇的连边限制了每个点匹配的个数。求出网络最大流，如果流量等于X集合所有点与S边容量之和，那么则说明X集合每个点都有完备的多重匹配。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
using namespace std;

const int N = 1000 + 10, M = 100000 + 10, inf = 0x3f3f3f3f;
struct Edge{
    int fr, to, cap, flow;
}edg[M];
int n, k, tot, sum;
int hd[N], nxt[M];
int s, t;
int d[N], q[N], vis[N], dfn;

void insert(int u, int v, int w){
    edg[tot].fr = u, edg[tot].to = v, edg[tot].cap = w;
    nxt[tot] = hd[u]; hd[u] = tot;
    tot++;
    edg[tot].fr = v, edg[tot].to = u;
    nxt[tot] = hd[v]; hd[v] = tot;
    tot++;
}
bool bfs(){
    int head = 1, tail = 1;
    q[1] = s; d[s] = 0; vis[s] = ++dfn;
    while(head <= tail){
        int u = q[head++];
        for(int i = hd[u]; i >= 0; i = nxt[i]){
            Edge &e = edg[i];
            if(vis[e.to] == dfn || e.cap <= e.flow) continue;
            vis[e.to] = dfn;
            q[++tail] = e.to;
            d[e.to] = d[u] + 1;
        }
    }
    return vis[t] == dfn;
}
int dfs(int x, int a){
    if(x == t || a == 0) return a;
    int f, flow = 0;
    for(int i = hd[x]; i >= 0; i = nxt[i]){
        Edge &e = edg[i];
        if(d[e.to] == d[x] + 1 && (f = dfs(e.to, min(a, e.cap - e.flow))) > 0){
            flow += f;
            e.flow += f;
            edg[i^1].flow -=f;
            a -= f;
            if(a == 0) break;
        }
    }
    return flow;
}

void init(){
    memset(hd, -1, sizeof(hd));
    scanf("%d %d", &n, &k);
    int w;
    s = 0, t = n + k + 1;
    for(int i = 1; i <= n; i++){
        scanf("%d", &w);
        sum += w;
        insert(i + k, t, w);
    }
    int p, v;
    for(int i = 1; i <= k; i++){
        insert(s, i, 1);
        scanf("%d", &p);
        for(int j = 1; j <= p; j++){
            scanf("%d", &v);
            insert(i, k + v, 1);
        }
    }
}
void work(){
    int flow = 0;
    while(bfs())
        flow += dfs(s, inf);
    //printf("%d\n", flow);
    if(flow == sum) puts("1");
    else puts("No Solution!");
}
int main(){
    freopen("prog87.in", "r", stdin);
    freopen("prog87.out", "w", stdout);
    init();
    work();
    return 0;
}