BEX

[Bhatia.Matrix Analysis.Solutions to Exercises and Problems]ExI.5.1

Show that the inner product $$\bex \sef{x_1\wedge \cdots \wedge x_k,y_1\wedge \cdots\wedge y_k} \eex$
·2015-10-21 11:30

[再寄小读者之数学篇](2014-11-20 计算二重积分)

Zhen) 计算二重积分 $$\bex \iint_{\bbR^2}e^{-(x^2+xy+y^2)}\rd x\rd y.
·2015-10-21 11:29

[再寄小读者之数学篇](2014-11-19 等差数列的部分和)

设 $\sed{a_k}_{k=1}^n$ 为等差数列, 则 $$\bex a_1+\cdots+a_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}. \eex$$ Ref.
·2015-10-21 11:27

[Bhatia.Matrix Analysis.Solutions to Exercises and Problems]ExI.4.1

necessary and sufficient condition that a vector $w$ mush satisfy in order that the bilinear functional $$\bex
·2015-10-21 11:27

[再寄小读者之数学篇](2014-11-19 关于平方数的交叉和的两个代数等式)

For $n\geq 1$ to be an integer, $$\bex (2n)^2-(2n+1)^2+\cdots+(4n)^2 =-(4n+1)^2+\cdots+(6n)^2, \eex$$
·2015-10-21 11:26

[Everyday Mathematics]20150106

设 $f\in C[0,T]$, $g$ 是 $T$-周期函数, 试证: $$\bex \vlm{n}\int_0^T f(x)g(nx)\rd x=\frac{1}{T}\int_0^T f(x)\rd
·2015-10-21 11:26

[Bhatia.Matrix Analysis.Solutions to Exercises and Problems]ExI.3.6

If $A$ is a contraction, show that $$\bex A^*(I-AA^*)^{1/2}=(I-A^*A)^{1/2}A^*.
·2015-10-21 11:25

[Bhatia.Matrix Analysis.Solutions to Exercises and Problems]ExI.3.7

For every matrix $A$, the matrix $$\bex \sex{\ba{cc} I&A\\ 0&I \ea} \eex$$ is invertible and
·2015-10-21 11:25

[Bhatia.Matrix Analysis.Solutions to Exercises and Problems]ExI.2.8

For any matrix $A$ the series $$\bex \exp A=I+A+\frac{A^2}{2!}+\cdots+\frac{A^n}{n!}
·2015-10-21 11:24

[Bhatia.Matrix Analysis.Solutions to Exercises and Problems]ExI.2.6

If $\sen{A}<1$, then $I-A$ is invertible, and $$\bex (I-A)^{-1}=I+A+A^2+\cdots, \eex$$ aa convergent
·2015-10-21 11:22

[再寄小读者之数学篇](2014-12-04 $\left(1+\frac{1}{x}\right)^x>\frac{2ex}{2x+1},\forall\ x>0.$)

试证: $$\bex \left(1+\frac{1}{x}\right)^x>\frac{2ex}{2x+1},\forall\ x>0.
·2015-10-21 11:20

[Bhatia.Matrix Analysis.Solutions to Exercises and Problems]ExI.1.3

Use the QR decomposition to prove Hadamard's inequality: if $X=(x_1,\cdots,x_n)$, then $$\bex |\det X
·2015-10-21 11:19

[Bhatia.Matrix Analysis.Solutions to Exercises and Problems]ExI.1.1

  解答: Since $$\bex \rank(X^*X)=\rank(X)=k, \eex$$
·2015-10-21 11:18

[再寄小读者之数学篇](2014-11-24 积分中值定理)

若 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续, 则 $$\bex \exists\ \xi\in (a,b),\st \int_a^b f(x)\rd x=f(\xi)(b-a).
·2015-10-21 11:16

[家里蹲大学数学杂志]第204期矩阵空间的一个直和分解

设 $M_n(\bbF)$ 是数域 $\bbF$ 上 $n$ 阶矩阵全体构成的线性空间, $V,W$ 分别是上三角矩阵、反对称矩阵全体构成的线性子空间, 则 $$\bex M_n(\bbF)=V\oplus
·2015-10-21 11:16

[再寄小读者之数学篇](2014-11-24 Abel 定理)

则 $$\bex \lim_{x\to 1^-} g(x)=s.
·2015-10-21 11:16

[Bhatia.Matrix Analysis.Solutions to Exercises and Problems]ExI.5.8

Prove that for any matrices $A,B$ we have $$\bex |\per (AB)|^2\leq \per (AA^*)\cdot \per (B^*B).
·2015-10-21 11:14

[Bhatia.Matrix Analysis.Solutions to Exercises and Problems]ExI.5.7

Prove that for any vectors $$\bex u_1,\cdots,u_k,\quad v_1,\cdots,v_k, \eex$$ we have $$\bex |\det(\sef
·2015-10-21 11:14

[Bhatia.Matrix Analysis.Solutions to Exercises and Problems]ExI.5.9

(Schur's Theorem) If $A$ is positive, then $$\bex \per(A)\geq \det A. \eex$$   Solution.
·2015-10-21 11:14

[物理学与PDEs]第5章习题9 伴随矩阵的特征值

设 $3\times 3$ 阵 ${\bf A}$ 的特征值为 $\lm_1,\lm_2,\lm_3$, 证明 $\cof {\bf A}$ 的特征值为 $$\bex \lm_2\lm_3,\quad
·2015-10-21 11:13

[再寄小读者之数学篇](2014-04-20 [浙江大学 2014 年高等代数考研试题] 相似于对角阵的一个充分条件)

设 ${\bf X},{\bf Y}$ 分别为 $m\times n$ 与 $n\times m$ 阵, 且 $$\bex {\bf Y}{\bf X}={\bf E}_n,\quad {\bf A}=
·2015-10-21 11:13

[Bhatia.Matrix Analysis.Solutions to Exercises and Problems]ExI.5.5

Show that the inner product $$\bex \sef{x_1\vee \cdots \vee x_k,y_1\vee \cdots\vee y_k} \eex$$ is equal
·2015-10-21 11:13

[物理学与PDEs]第5章习题10 多凸函数一个例子

证明函数 $$\bex \hat W({\bf F})=\sedd{\ba{ll} \cfrac{1}{\det{\bf F}},&if\ \det{\bf F}>0,\\ +\infty
·2015-10-21 11:13

[再寄小读者之数学篇](2014-04-20 [苏州大学数学专业考研复试试题] 解析函数有特定表达式的一个充分条件)

证明: $$\bex \exists\ \tt\in \bbR,\st f(z)=e^{i\tt}\cfr
·2015-10-21 11:13

[物理学与PDEs]第5章习题7 各向同性材料时稳定性条件的等价条件

在线性弹性时, 证明各向同性材料, 稳定性条件 (5. 27) 等价于 Lam\'e 常数满足 $$\bex \mu>0,\quad \lm+\cfrac{2}{3}\mu>0.
·2015-10-21 11:11

[物理学与PDEs]第5章习题6 各向同性材料时强椭圆性条件的等价条件

在线性弹性时, 证明各向同性材料, 强椭圆性条件 (5. 6) 等价于 Lam\'e 常数满足 $$\bex \mu>0,\quad \lm+2\mu>0.
·2015-10-21 11:11

[物理学与PDEs]第5章习题4 广义 Hookean 定律的张量的对称性

设材料是超弹性的, 并设参考构形为自然状态, 证明由线性化得到的张量 ${\bf A}=(a_{ijkl})=\sex{2\cfrac{\p \bar p_{ij}}{c_{kl}}}$ 具有以下的对称性: $$\bex
·2015-10-21 11:11

[物理学与PDEs]第5章习题1 矩阵的极分解

    证明:   (1)  先证明存在正交阵 ${\bf P},{\bf Q}$ 及对角阵 ${\bf D}$ 使得 $$\bex {\bf F}={\
·2015-10-21 11:09

[物理学与PDEs]第5章习题2 Jacobian 的物质导数

验证 (3. 6) 式, 即证明 $$\bex \cfrac{\rd J}{\rd t}=J\Div_y {\bf v}.
·2015-10-21 11:09

[再寄小读者之数学篇](2014-04-18 from [email protected] [南开大学 2014 年高等代数考研试题]反对称矩阵的组合)

证明: 由 ${\bf A}^T=-{\bf A}$ 知 $$\bex |{\bf A}|=|{\bf A}^T|=(
·2015-10-21 11:07

[再寄小读者之数学篇](2014-04-18 from [email protected] [南开大学 2014 年高等代数考研试题]特征多项式的互素分解)

求证: $$\bex \rank g({\bf A})=q,\quad \rank h({\bf
·2015-10-21 11:06

[再寄小读者之数学篇] (2014-04-18 from [email protected] [南开大学 2014 年高等代数考研试题]一个秩等式)

证明: $$\bex s-\rank({\bf E}_s-{\bf A}{\bf A}^T)=n-\rank({\bf E}_n-{\bf A}^T{\bf A}).
·2015-10-21 11:05

[物理学与PDEs]第5章第4节 本构方程 - 应力与变形之间的关系

若 Cauchy 应力张量 ${\bf T}$ 满足 $$\bex {\bf T}({\bf y})=\hat{\bf T}({\bf x},{\bf F}({\bf x})), \eex$$ 则称材料是
·2015-10-21 11:04

[物理学与PDEs]第5章第3节 守恒定律, 应力张量

5. 3 守恒定律, 应力张量       5. 3. 1 质量守恒定律    $$\bex \cfrac{\p \rho}{\p t}+\
·2015-10-21 11:04

[物理学与PDEs]第5章第2节 变形的描述, 应变张量 2.3 位移梯度张量与无穷小应变张量

 位移向量 $$\bex {\bf u}={\bf y}-{\bf x}. \eex$$     2.
·2015-10-21 11:02

伴随矩阵的特征值

设 $3\times 3$ 阵 ${\bf A}$ 的特征值为 $\lm_1,\lm_2,\lm_3$, 证明 $\cof {\bf A}$ 的特征值为 $$\bex \lm_2\lm_3,\quad
·2015-10-21 11:02

[物理学与PDEs]第5章第2节 变形的描述, 应变张量 2.2 Cauchy - Green 应变张量

 引理 (极分解): 设 $|{\bf F}|\neq 0$, 则存在正交阵 ${\bf R}$ 及对称正定阵 ${\bf U},{\bf V}$ 使得 $$\bex {\bf F}={\bf
·2015-10-21 11:00

[物理学与PDEs]第4章习题3 一维理想反应流体力学方程组的数学结构

证明: 由 (3. 10), (3. 12), (3. 13) 知 $$\bex \cfrac{1}{\rho c^2}\cfrac{\p p}{\p t} +\cfrac{u}{\rho c^2}\cfrac
·2015-10-21 11:58

[物理学与PDEs]第4章第2节 反应流体力学方程组 2.3 混合气体状态方程

  对多方气体 (理想气体当 $T$ 不高时可近似认为), $$\bex p=(\gamma-1)e^\frac{S-S_0}{c_V}\rho^\gamma,\
·2015-10-21 11:54

[物理学与PDEs]第3章习题7 快、慢及Alfv\'en 特征速度的比较

证明: 当 $H_1\neq 0$ 及 $H_2^2+H_3^2\neq 0$ 时, 快、慢及 Alfv\'en 特征速度 $C_f$, $C_s$ 及 $C_a$ 满足 $$\bex 0<C_s
·2015-10-21 11:53

[物理学与PDEs]第3章习题6 Lagrange 坐标下的一维理想磁流体力学方程组的数学结构

  解答: 由 (5. 33), (5. 39) 知 $$\bex 0=\cfrac{\p p}{\p \tau}\sex{\cfrac{\p \tau}{\p t'}-\cfrac{\p
·2015-10-21 11:53

[物理学与PDEs]第3章习题3电磁场的矢势在 Lorentz 规范下满足的方程

试证明: 若 $\phi$ 及 ${\bf A}$ 满足条件 $$\bex \phi+\cfrac{1}{\sigma \mu_0}\Div{\bf A}=0, \eex$$ 则方程 (2. 32) 可写为如下的形式
·2015-10-21 11:52

[物理学与PDEs]第3章习题2 仅受重力作用的定常不可压流理想流体沿流线的一个守恒量

若取 $x_3$ 为由地面开始并指向上方的铅直坐标, 试证明: 沿流线成立 $$\bex \cfrac{u^2}{2}+p+\cfrac{1}{2}\mu
·2015-10-21 11:51

[物理学与PDEs]第3章习题1 只有一个非零分量的磁场

设磁场 ${\bf H}$ 只有一个非零分量, 试证明 $$\bex ({\bf H}\cdot\n){\bf H}={\bf 0}.
·2015-10-21 11:51

[物理学与PDEs]第3章第3节 电导率 $\sigma$ 为无穷时的磁流体力学方程组 3.2 向量场过任一随流体运动的曲面的通量对时间的微式及其应用

  $$\bex \cfrac{\rd}{\rd t}\int_S {\bf a}\cdot{\bf n}\rd S =\int_S \sez{ \cfrac{\p {\bf a}}{\p t
·2015-10-21 11:50

[物理学与PDEs]第3章第3节 电导率 $\sigma$ 为无穷时的磁流体力学方程组 3.3 磁场线``冻结''原理

事实上, $\cfrac{{\bf H}}{\rho}$, $\rd {\bf r}$ 满足同一线性齐次 ODE 组: $$\bex \cfrac{\rd {\bf x}}{\rd t}=\sex{{\
·2015-10-21 11:50

[物理学与PDEs]第3章第2节 磁流体力学方程组 2.2 考虑到电磁场的存在对流体力学方程组的修正

 连续性方程 $$\bex \cfrac{\p \rho}{\p t}+\Div(\rho{\bf u})=0.  \eex$$     2.
·2015-10-21 11:49

[物理学与PDEs]第2章习题12 严格凸性的转换

证明函数 $$\bex M=\cfrac{1}{\xi_0}L(\xi_0,\xi_1,\cdots,\xi_n) \eex$$ 关于变量 $$\bex \eta_0=\cfrac{1}{\xi_0},
·2015-10-21 11:48

[物理学与PDEs]第2章习题9 粘性流体动能的衰减

证明流体的动能随时间的增加而减少, 即 $$\bex \cfrac{\rd }{\rd t}\int_\Omega \cfrac{1}{2}|{\bf u}|
·2015-10-21 11:46

[物理学与PDEs]第2章习题6 有旋的 Navier-Stokes 方程组

  证明: 若 $\rot{\bf u}={\bf 0}$, 则 $$\bex -\lap{\bf u}=\rot\rot{\bf u}-\
·2015-10-21 11:44
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