BEX 第6页

级数的敛散性

解答: 由 $$\bex \vlm{n}\frac{\ln\cos\frac{\pi}{n}}{\frac{\pi^2}{2n^2}} =\lim_{x\to0}\frac{\ln \cos

·2015-10-21 11:55

数列极限的存在性

设数列 $\sed{x_n}$ 满足 $$\bex x_1=1,\quad x_{n+1}=\sqrt{4+3x_n}\ (n=1,2,\cdots

·2015-10-21 11:54

函数的凹性与次线性性

证明: 对固定的 $b$, 定义 $$\bex F(x)=f(x+b)-f(x)-f(

·2015-10-21 11:54

正项级数收敛的一个判别法

设 $\sed{a_n}$, $\sed{b_n}$ 都是正数列, 满足 $$\bex \lim_{n\to\infty}\frac{b_n}{n}=0\mbox{ 及 } \lim_{n\to\infty

·2015-10-21 11:53

二维、三维 Laplace 算子的极坐标表示

(1) 设 $(r,\theta)$ 是 $\bbR^2$ 的极坐标, 即 $$\bex x=r\cos\theta,\quad y=r\sin \theta.

·2015-10-21 11:52

Gram 矩阵与向量到子空间的距离

设 $W$ 是 $n$ 维 Euclidean 空间 $V$ 的子空间, $\beta\in V$, 定义 $\beta$ 到 $W$ 的距离 $$\bex \rd (\beta

·2015-10-21 11:51

$A,B$ 实对称 $\ra\tr((AB)^2)\leq \tr(A^2B^2)$

证明: 由 $$\bex \sum_i \sez{\sum_j a_{ij}b_{ji}}=\sum_j\sez{\sum_i b_{ji

·2015-10-21 11:51

求矩阵的幂的一个好方法

由 Hamilton-Caylay 定理, $$\bex f(A)=(A

·2015-10-21 11:50

四分之一椭圆上二重积分的计算

计算 $$\bex I=\iint_D\frac{\rd x\rd y}{\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}}\cdot \sex{x^2+y^2+1-\frac

·2015-10-21 11:49

积分不等式

Then there exists a generic constant $C$ such that $$\bex \iiint

·2015-10-21 11:48

第五届[2013年]全国大学生数学竞赛[数学类]试题五参考解答

设 $f:[-1,1\to\bbR$ 为偶函数, $f$ 在 $[0,1]$ 上是增函数; 又设 $g$ 是 $[-1,1]$ 上的凸函数, 即 $$\bex g(tx+(1-t)y)\leq tg(x

·2015-10-21 11:47

第五届[2013年]全国大学生数学竞赛[数学类]试题四参考解答

证明: 本题即要证 $$\bex \forall\ n\in\bbZ^+,\ \exists\ x_n\geq n,\st f'(x_n)<f(

·2015-10-21 11:45

弧长估计

证明: 由 Rolle 定理, $$\bex

·2015-10-21 11:44

介值定理的一个应用

证明: 存在 $x_0\in [0,1]$, 使得 $$\bex e^{f(x_0)}+3f(x_0)=e^{g(x_0)}+3g(x_0).

·2015-10-21 11:44

笛卡尔叶形曲线所围图形的面积

解答: 在极坐标 $$\bex x=r\cos t,\quad y=r\sin t \eex$$ 下, 笛卡尔叶形线为

·2015-10-21 11:43

[家里蹲大学数学杂志]第409期与正弦对数有关的一个积分不等式

试证: $$\bex 0<\int_0^\infty \frac{\sin t}{\ln(1+x+t)}\rd t<\frac{2}{\ln(1+x)}.

·2015-07-22 16:00

BeX5企业快速开发平台V3.2预览版发布（2015-7-17）

BeX5企业快速开发平台V3.2预览版（2015-7-17）开发版及视频下载新增特性： 1. 提供MacOSX版本 2.

muyu·2015-07-19 09:00

[数学笔记Mathematical Notes]2-一个带对数的积分不等式

$$\bex \int_0^1\frac{\ln^2x}{x^x}\rd x<2\int_0^1 \frac{\rd x}{x^x}.

·2015-07-05 15:00

[数学笔记Mathematical Notes]1-调和级数发散的一个简单证明

设 $$\bex a_n=\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}, \eex$$ 则 $a_n$ 递增, 而 $\dps{\vlm{n}a_n=l\in (1,\infty]}$.

·2015-07-04 18:00

[再寄小读者之数学篇](2015-06-24 Series)

Prove that $$\bex \vsm{n}a_n<\infty \eex$$ if and only if $a_n=O(1/\

·2015-06-17 16:00

[再寄小读者之数学篇](2015-06-24 积分不等式)

Given that $$\bex \sum_{k=1}^{p-1} f\s

·2015-06-17 16:00

mysql workbench 保存model时，总是崩溃，解决方法

在mysql的workbench中，保存model时，总是会提示崩溃，错误信息如下：问题签名: 问题事件名称:BEX64 应用程序名:MySQLWorkbench.exe 应用程序版本:6.3.3.0

wangjun5159·2015-06-08 15:00

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.3.28

试证: $f(x)$ 为凸的充分必要条件是 $$\bex f(x)\leq\frac{1}{2h}\int_{-h}^h f(x+t)\rd t \eex$$ 对 $\forall\ [x-h,x+h]

·2015-05-26 21:00

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.3.27

求证: $$\bex a_n=\frac{1}{\pi}\int_0^{2\pi} f(x)\cos nx\rd x\geq 0.

·2015-05-26 21:00

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.3.26

求证: $$\bex a_{2n}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\cos 2nx\rd x\geq 0;\quad a_{2n+1}=\frac{1}{\pi}\int

·2015-05-26 20:00

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.3.25

设 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内连续, $$\bex \lim_{h\to 0}\frac{1}{h^3}\int_0^h [f(x+u)+f(x-u)-2f(x)]\rd u=0,\quad(

·2015-05-26 20:00

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.3.22

(北京大学) 证明: 由积分中值定理, $$\bex \exists\ \eta\in \sex{\

·2015-05-26 20:00

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.3.20

设 $a>0$, 函数 $f(x)$ 在 $[0,a]$ 上连续可微, 证明: $$\bex |f(0)|\leq \frac{1}{a}\int_0^a |f(x)|\rd x+\int_0^a

·2015-05-26 16:00

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.3.17

设在 $\dps{\sex{0,\frac{\pi}{2}}}$ 内连续函数 $f(x)>0$, 且满足 $$\bex f^2(x)=\int_0^x f(t)\frac{\tan t}{\sqrt

·2015-05-26 15:00

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.3.16

并由此说明: $$\bex \sum_{k=0}^n C_n^k(-1)^k \frac{1}{2k+1}=\frac{(2n)!!}{(2n+1)!!}.

·2015-05-26 15:00

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.3.11

函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续, 并且对于任何区间 $[\al,\beta]$ ($a\leq \al<\beta\leq b$), 不等式 $$\bex \sev{\int_\al

·2015-05-26 10:00

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.3.10

对自然数 $n\geq 2$, 证明 $$\bex \frac{1}{\pi}\int_0^\frac{\pi}{2}\sev{\frac{\sin (2n+1)t}{\sin t}}\rd t<

·2015-05-25 21:00

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.3.7

$f(x)\neq 0$, 在 $[a,b]$ 上可微, $f(a)=f(b)=0$, 证明至少存在点 $c\in [a,b]$, 使 $$\bex |f'(c)|>\frac{4}{(b-a)^

·2015-05-25 21:00

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.3.6

$f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可导, $f'(x)\searrow$, $|f'(x)|\geq m>0$, 试证: $$\bex \sev{\int_a^b \cos f(x)\rd x}

·2015-05-25 21:00

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.3.5

若 $f'(x)$ 在 $[0,2\pi]$ 上拦蓄, 且 $f'(x)\geq 0$, 则对任意正整数 $n$, 有 $$\bex \sev{\int_0^{2\pi}f(x)\sin nx\rd x

·2015-05-25 11:00

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.3.3

(西北大学) 证明: 由 $$\bex f'(x)=(x-x^2)\sin^{2n}x\sedd{\ba{ll} >0,&0<x<

·2015-05-25 11:00

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.3.2

证明: 由例 4.3.19, $$\bex \sin x<x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120} =x-\frac{x^3}{3\pi}\sex{\frac

·2015-05-25 11:00

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]5.1.26

求证: 当 $s>1$ 时, $$\bex \int_1^\infty \frac{x-[x]}{x^{s+1}}\rd x=\frac{1}{s-1}-\frac{1}{s}\vsm{n}\frac

·2015-05-16 08:00

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]5.1.25

对函数 $$\bex \zeta(s)=\vsm{n}\frac{1}{n^s}\quad\sex{s>1}, \eex$$ 证明: $\dps{\zeta(s)=s\int_1^\infty \

·2015-05-16 08:00

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]5.1.23

序列 $\sed{b_n}\ (n=1,2,\cdots)$ 具有下列性质: $$\bex b_n>0,\quad \vlm{n}b_n=+\infty.

·2015-05-16 08:00

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]5.1.22

解答: 取 $\dps{a_n=\frac{1}{n\ln n\ln^2\ln n}}$, 则由 $$\bex \int_{e^e}^\infty \frac{1}{x\ln x\ln^

·2015-05-16 08:00

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]5.1.21

证明: 级数 $$\bex \vsm{n}\frac{p_n-p_{n-1}}{p_np_{n-1}^a} \eex$$ 收敛.

·2015-05-16 08:00

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]5.1.20

设 $a_n>0$, $\dps{\vsm{n}a_n}$ 收敛, $na_n$ 单调, 证明: $$\bex \vlm{n}na_n\ln n=0.

·2015-05-16 08:00

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]5.1.19

设 $\dps{\vsm{n}a_n}$ 收敛, $0<p_n\nearrow+\infty$, 试证: $$\bex \vlm{n} \frac{p_1a_1+p_2a_2+\cdots+p_na_n

·2015-05-16 08:00

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]5.1.16

证明: 由 $$\bex f(n+1)-f(n)=f'(\xi_n)\geq f'(n)\quad\sex{n<\xi_n<n+1}, \eex$$ $$\bex

·2015-05-13 15:00

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]5.1.15

infty)$ 上的连续周期函数, 周期为 $1$, 且 $\dps{\int_0^1 \varphi(x)\rd x=0}$, $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上可微, 且有连续的一阶导数, $$\bex

·2015-05-13 15:00

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]5.1.14

求证: 下列两级数 $$\bex \vsm{n}|a_{n+1}-a_n|,\quad \vsm{n}\sev{\frac{1}{a_{n+1}}-\frac{1}{a_n}} \eex$$ 同时收敛或同时发散

·2015-05-13 15:00

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]5.1.13

证明级数 $$\bex 1+\frac{1}{2}-\frac{1}{3} +\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\cdots \eex$$ 发散.

·2015-05-13 15:00

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]5.1.8

证明: 级数 $$\bex \vsm{n}\frac{a_n}{\sqrt{r_{n-1}}+\sqrt{r_n}} \eex$$ 仍收敛, 其中 $$\bex r_n=\sum_{k=n+1}^\infty

·2015-05-13 12:00

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]5.1.4

证明: 当 $p\geq1$ 时, $$\bex \vsm{n}\frac{1}{(n+1)\sqrt[p]{n}}<p.

·2015-05-12 11:00

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[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.3.25

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.3.22

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.3.20

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.3.17

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.3.16

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.3.11

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.3.10

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.3.7

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.3.6

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.3.5

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.3.3

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.3.2

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]5.1.26

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]5.1.25

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]5.1.23

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]5.1.22

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]5.1.21

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]5.1.20

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]5.1.19

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]5.1.16

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[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]5.1.4

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