BEX

[PeterDLax著泛函分析习题参考解答]第3章 Hahn-Banach 定理

  证明: $\ra$: 由 $p_K(x)<1$ 知 $$\bex \exists\ 0<a<1,\st \cfrac{x}{a}\in K.
·2015-10-23 08:52

[PeterDLax著泛函分析习题参考解答]第4章 Hahn-Bananch 定理的应用

  证明: $$\bex p(x)=\inf_{x\leq y\in Y}l(y)=\inf_{a_n\leq b_n,\sed{b_
·2015-10-23 08:52

[PeterDLax著泛函分析习题参考解答]第2章 线性映射

验证两个线性映射的复合仍是线性映射而且满足分配律: $$\bex {\bf M}({\bf N}+{\bf K})={\bf M}{\bf N}+{\bf M}{\bf K},\quad ({\bf M
·2015-10-23 08:51

[PeterDLax著泛函分析习题参考解答]第1章 线性空间

  证明: 由 $$\bex x=\sum_{k=1}^{n-1}a_k\cdot \sum_{j=1}^{n-1}\cfrac{a_j}{\sum_{k=1}^{
·2015-10-23 08:50

[再寄小读者之数学篇](2014-07-16 与对数有关的不等式)

试证: $$\bex (1+a)\ln (1+a)+(1+b)\ln (1+b)<(1+a+b)\ln (1+a+b),\quad \forall\ a,b>0.
·2015-10-23 08:49

[再寄小读者之数学篇](2014-07-17 行列式的计算)

  提示:  根据行列式的性质: (1) 行列式两列线性相关, 则行列式为零; (2) 若记第 $k$ 列为向量 $\al$ 的行列式为 $D(\al)$, 则 $$\bex
·2015-10-23 08:49

[再寄小读者之数学篇](2014-07-16 凹函数与次线性性)

试证: 当 $0<a<b<a+b<c$ 时, $$\bex f(a+b)<f(a)+f(b).
·2015-10-23 08:49

[再寄小读者之数学篇](2014-07-16 高阶导数的一个表达式)

设 $f\in C^{n+1}(\bbR)$, 试证: 对 $\forall\ a\in\bbR$, $$\bex \frac{\rd^n}{\rd x^n}\sez{\frac{f(x)-f(a)}{
·2015-10-23 08:49

[再寄小读者之数学篇](2014-07-16 任意阶导数在零处为零的一个充分条件)

设 $f(x)$ 在 $\bbR$ 上任意阶可导, 且 $$\bex \forall\ n\in\bbZ^+,\ f\sex{\frac{1}{n}}=0.
·2015-10-23 08:48

[再寄小读者之数学篇](2014-07-16 两个条件给出二阶导中值)

设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可微, $f(a)=f(b)=0$, 则对 $\forall\ x\in [a,b]$, 存在 $\xi\in (a,b)$, 使得 $$\bex f(x)=\frac
·2015-10-23 08:48

[再寄小读者之数学篇](2014-07-16 二阶中值)

设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上二阶可微, 试证: 对任意 $c\in (a,b)$, 存在 $\xi\in (a,b)$ 使得 $$\bex \frac{f''(\xi)}{2}=\frac{
·2015-10-23 08:48

再寄小读者之数学篇[2014.07.01-2014.12.31]

.$)  试证: $$\bex \left(1+\frac{1}{x}\right)^x>\frac{2ex}{2x+1},\
·2015-10-23 08:44

[再寄小读者之数学篇](2014-07-09 多项式的辗转相除与线性变换)

对于 $V$ 上的任意多项式 $f(x)$, 以 $x^2-1$ 除 $f(x)$ 所得的商式及余式分别为 $q(x)$ 和 $r(x)$, 记 $$\bex f(x)=q(x)(x^2-1)+r(x)
·2015-10-23 08:42

再寄小读者之数学篇[2014.01.01-2014.06.30]

[再寄小读者之数学篇](2014-06-28 证明级数几乎处处收敛) 设 $f\in L(\bbR)$, 试证: $$\bex \vsm{n}f(n^2x) \eex$$ 在 $\bbR$ 上几乎处处收敛到一
·2015-10-23 08:40

[再寄小读者之数学篇](2014-06-28 证明级数几乎处处收敛)

设 $f\in L(\bbR)$, 试证: $$\bex \vsm{n}f(n^2x) \eex$$ 在 $\bbR$ 上几乎处处收敛到一 Lebesgue 函数.
·2015-10-23 08:38

[再寄小读者之数学篇](2014-06-27 向量公式: The Hall term)

$$\bex \n\cdot{\bf b}=0\ra \n\times [(\n\times {\bf b})\times {\bf b}]=\n\times [\n\cdot ({\bf b}\otimes
·2015-10-23 08:35

[再寄小读者之数学篇](2014-06-26 Logarithmical Sobolev inequality using BMO space)

$$\bex q>3\ra \sen{\n f}_{L^\infty} \leq C(q)\sez{ 1+\sen{\n f}_{BMO} \ln^\frac{1}{2}\sex{e+\sen{\
·2015-10-23 08:35

[再寄小读者之数学篇](2014-06-26 Besov space estimates)

(1) $$\bex \sen{D^k f}_{\dot B^s_{p,q}}\sim \sen{f}_{\dot B^{s+k}_{p,q}}.
·2015-10-23 08:34

[再寄小读者之数学篇](2014-06-23 Bernstein's inequality)

$$\bex \supp \hat u\subset \sed{2^{j-2}\leq |\xi|\leq 2^j} \ra \cfrac{1}{C}2^{jk}\sen{f}_{L^p} \leq \
·2015-10-23 08:34

[再寄小读者之数学篇](2014-06-23 Gronwall-type inequality)

Suppose that $$\bex \cfrac{\rd f}{\rd t}+h\leq gf\quad (f,g,h\geq 0,\ t\in [0,T]).
·2015-10-23 08:33

[再寄小读者之数学篇](2014-06-23 向量公式)

$$\bex \n\times({\bf a}\times{\bf b})=({\bf b}\cdot\n){\bf a} -({\bf a}\cdot\n){\bf b}+{\bf a}(\n\cdot
·2015-10-23 08:32

[再寄小读者之数学篇](2014-06-23 二阶导数估计 [中国科学技术大学2013年高等数学B 考研试题])

证明: $$\bex \min_{0\leq x\leq 1}f''(x)\leq -16.
·2015-10-23 08:32

[再寄小读者之数学篇](2014-06-23 积分不等式 [中国科学技术大学2013年高等数学B 考研试题])

证明: $$\bex \int_a^b f^2(x)\rd x\leq \cfrac{(b-a)^2}{2}\int_a^b [f'(x)]^2\rd x -\cfrac{1}{2}\int_a^b [
·2015-10-23 08:32

[再寄小读者之数学篇](2014-06-22 积分不等式 [中国科学技术大学2012年高等数学B考研试题])

函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上单调减, 证明: 对于任何 $\al\in (0,1)$, $$\bex \int_0^\al f(x)\rd x\geq \al \int_0^1 f(x)\
·2015-10-23 08:31

[再寄小读者之数学篇](2014-06-21 微分不等式)

)$ are two nonnegative $C^1(\bbR^+)$ functions, and $D(t)$ is a nonnegative function, satisfying $$\bex
·2015-10-23 08:31

[再寄小读者之数学篇](2014-06-21 向量公式)

$$\bex (\n\times{\bf b})\times{\bf b}=-\n\cfrac{|{\bf b}|^2}{2}+({\bf b}\cdot\n){\bf b}.
·2015-10-23 08:31

[再寄小读者之数学篇](2014-06-21 交换子估计)

$$\bex \sum_{|\al|\leq m}\sen{D^\al (fg)-(D^\al f)g}_{L^2} \leq C\sex{\sen{f}_{L^\infty}\sen{g}_{H^m}
·2015-10-23 08:31

[再寄小读者之数学篇](2014-06-22 发散级数 [中国科学技术大学2012年高等数学B考研试题])

  证明: 对任意固定的 $n$, 由 $S_{n+p}\to \infty\ (p\to\infty)$ 知 $$\bex \exists\ p,\st \cfrac{S_
·2015-10-23 08:31

[再寄小读者之数学篇](2014-06-21 Beal-Kaot-Majda type logarithmic Sobolev inequality)

For $f\in H^s(\bbR^3)$ with $s>\cfrac{3}{2}$, we have $$\bex \sen{f}_{L^\infty}\leq C\sex{1+\sen{f
·2015-10-23 08:31

[再寄小读者之数学篇](2014-06-22 最大值点处导数为零的应用 [中国科学技术大学2012 年高等数学B考研试题])

证明:对于任意的实数 $\lm$, 一定存在 $\xi\in (0,1)$, 使得 $$\bex f'(\xi)-\lm f(\xi)+\lm f(\xi)=1.
·2015-10-23 08:30

[再寄小读者之数学篇](2014-06-22 函数恒为零的一个充分条件 [中国科学技术大学2011年高等数学B考研试题])

设 $f(x)$ 在 $\bbR$ 上连续, 又 $$\bex \phi(x)=f(x)\int_0^x f(t)\rd t \eex$$ 单调递减. 证明: $f\equiv 0$.
·2015-10-23 08:30

[再寄小读者之数学篇](2014-06-22 不等式 [中国科学技术大学2011年高等数学B考研试题])

证明不等式: $$\bex 1+x\ln\sex{x+\sqrt{1+x^2}}>\sqrt{1+x^2},\quad x>0.
·2015-10-23 08:28

[再寄小读者之数学篇](2014-06-20 求极限-H\"older 不等式的应用)

设非负严格增加函数 $f$ 在区间 $[a,b]$ 上连续, 有积分中值定理, 对于每个 $p>0$ 存在唯一的 $x_p\in (a,b)$, 使 $$\bex f^p(x_p)=\cfrac{
·2015-10-23 08:27

[再寄小读者之数学篇](2014-06-20 求极限-L'Hospital 法则的应用)

设 $f\in C[0,+\infty)$, $a$ 为实数, 且存在有限极限 $$\bex \vlm{x}\sez{f(x)+a\int_0^x f(t)\rd t}.
·2015-10-23 08:27

[再寄小读者之数学篇](2014-06-20 渐近等式中的待定常数)

计算以下渐近等式 $$\bex \int_0^1 \cfrac{x^{n-1}}{1+x}\rd x=\cfrac{a}{n}+\cfrac{b}{n^2}+o\sex{\cfrac{1}{n^2}}\
·2015-10-23 08:27

[再寄小读者之数学篇](2014-06-20 积分号下求导)

    解答: 由 $$\bex F(x)=\int_{x+a}^{x+b} f(s)\cos (s-x)\r
·2015-10-23 08:25

[再寄小读者之数学篇](2014-06-19 满足三个积分等式的函数)

设 $f$ 为 $[0,1]$ 上的连续非负函数, 找出满足条件 $$\bex \int_0^1 f(x)\rd x=1,\quad \int_0^1 xf(x)\rd x=a,\quad \int_0
·2015-10-23 08:24

[再寄小读者之数学篇](2014-06-18 微分、积分中值定理一起来)

  证明: 取 $F(x)=e^xf(x)$, 则由中值定理, $$\bex \exists\ \eta\in (0,1/3),\st
·2015-10-23 08:22

[再寄小读者之数学篇](2014-06-15 右半实轴上的一致连续函数)

  证明: 由 $f$ 一致连续知 $$\bex \forall\ \ve>0,\ \exists\ \delta>0,\ 0&
·2015-10-23 08:22

[再寄小读者之数学篇](2014-06-14 [四川师范大学 2014 年数学分析考研试题] 积分不等式)

证明: $$\bex |f(x)|\leq \cfrac{1}{4}\int_0^1 |f''(x)|\rd x,\quad \forall\ x\in [0,1].
·2015-10-23 08:21

[再寄小读者之数学篇](2014-06-03 微分、积分中值定理的应用)

设 $f$ 在 $[0,1]$ 上连续, 在 $(0,1)$ 内二阶可导, 且 $$\bex \lim_{x\to 0}\cfrac{f(x)}{x^2}\mbox{ 存在,}\quad \int_0^
·2015-10-23 08:20

[再寄小读者之数学篇](2014-06-03 计算两个无穷级数)

(from zhangwuji) $$\bex \sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{n^3+2n+1}{(n^4+n^2+1)n!}
·2015-10-23 08:19

[再寄小读者之数学篇](2014-05-27 矩阵的迹与 Jacobian)

(from MathFlow) 设 $A=(a_{ij})$, 且定义 $$\bex \n_A f(A)=\sex{\cfrac{\p f}{\p a_{ij}}}.
·2015-10-23 08:18

[再寄小读者之数学篇](2014-05-28 Ladyzhenskaya 不等式)

$$\bex f\in C_c^\infty(\bbR^2)\ra \sen{f}_{L^4}\leq \sqrt{2} \sen{f}_{L^2}^{1/2} \sen{\p_1f}_{L^2}^{1
·2015-10-23 08:18

[再寄小读者之数学篇](2014-05-27 特征值估计)

问下述结论是否成立: $A$ 属于 $\mathbb{C}$ 的任意特征值 $\xi$ 有： $$\bex \sqrt{\lm_{min}}\l
·2015-10-23 08:15

[再寄小读者之数学篇](2014-05-23 $\ln x-ax=0$ 有两个根时的估计)

证明: 由 $$\bex \ln x=ax,\quad g(x)\equiv \cfrac{\ln x}{x}=a \eex$$ 有两根及 $$\bex g'(x)=\cfrac{1-\ln x}{x^
·2015-10-23 08:14

[再寄小读者之数学篇](2014-05-23 递增函数的右极限)

证明: 设 $A=f(x_0+0)$, 则由定义, $$\bex \forall\ \ve>0,\ \exists\ \
·2015-10-23 08:14

[再寄小读者之数学篇](2014-05-18 从正定矩阵构造正定矩阵)

证明矩阵 $$\bex {\bf M}={\bf A}+\cfrac{{\bf x}{\bf x}^t}{{\bf x}^t{\bf y}} -\cfrac{{\bf A}{\bf y}{\bf y}^
·2015-10-23 08:12

[复变函数]第23堂课 6.2 用留数定理计算实积分 (续)

n, n-m\geq 2; Q\neq 0$)     (1)  数分: 分拆     (2)  复变: 构造围道积分, 而 $$\bex
·2015-10-23 08:11

[再寄小读者之数学篇](2014-11-21 关于积和式的一个不等式)

Rajendra Bhatia 的 Matrix Analysis 中, Exercise I.5.8 说: Prove that for any matrices $A,B$ we have $$\bex
·2015-10-21 11:30
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