切比雪夫不等式与大数定律

1、几种重要随机变量的数学期望和方差

①单项分布B(1,p)，E(X)=1*p+0*(1-p)=p，D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2=0*(1-p)+1*p-p^2=p(1-p)；

②二项分布B(n,p),P{X=k}=，E(X)=np，D(x)=np(1-p);

③泊松分布P()，P{X=k}=，k=0,1,2..，E(X)=,D(x)=;

④均匀分布U(a，b)，E(X)=(a+b)/2，D(X)=;

⑤正态分布N（，），E(X)=，D(X)=.

2、马尔科夫不等式

设X是只取非负值的随机变量，且具有数学期望E(X)，则对于任意正数，有：

证明：

应用：不知道随机变量X的分布时，可以用E(X)来估计事件{X≥}的概率上限。

3、切比雪夫不等式

设随机变量X的E(X)存在，D(X)=σ2，则对任意的正数有：

或

证明：

应用：在不知道X的分布情况下通过E(X),D(X)估计事件{|X-E(X)|<}的概率下限。

例：已知P(A)=0.75，求n需要多大时，才能使在n次独立重复试验中，事件A出现的频率在0.74~0.76之间的概率至少为0.9？

解：设X为n次试验事件中A出现的次数，则X服从二项分布：X~B(n,0.75）

     

解：E(Xi)=,D(Xi)=5,因为是独立观测，所以

，

(1)由切比雪夫不等式得：

(2)，n≥400.

3、大数定律

背景是研究在什么条件下随机变量序列的算术平均值收敛于其均值的算术平均值。概念：

4、切比雪夫大数定律

参考PPT:https://wenku.baidu.com/view/8b5b9f78910ef12d2bf9e765.html?re=view