费马小定理

定理内容：若存在整数a,p,满足GCD(a,p)=1,即a，p互质，那么a^(p-1)≡1 (mod p),即在上述条件下，a^(p-1)%p=1

证明前需要知道一些性质

性质1：若存在三个整数a，b，c，以及一个和c互质的整数m，那么如果a*c≡b*c  (mod m),那么a≡b (mod m)

证明1：若a*c≡b*c  (mod m)，则a*c%m = b*c%m，那么(a*c-b*c)%m=0,那么(a-b)*c≡0 (mod m),因为m和c互质，所以(a-b)%m=0,则a≡b (mod m)

性质2：若两个整数m，b互质，{ai}为模m的一个完全剩余系,(完全剩余系就是0~m-1),那么b*{ai}在模m意义下，也是m的一个完全剩余系

证明2：若b*{ai}在模m的意义下，不是一个m的完全剩余系，那么一定存在b*ai≡b*aj (mod m),因为m，b互质，所以由上面的性质1可得上述等式成立的条件为ai=aj，但因为ai和aj为m剩余系中的两个值，所以ai和aj一定不相等，所以可得b*{ai}在模 m的意义下为m的一个剩余系

证明定理过程：现在回到费马小定理的证明，p是一个质数，a和p互质，那么构造p的完全剩余系(将0先视为没有)bi={1,2,…,p-1},再构造a*bi={a*1,a*2,…,a*p-1),将bi累乘得到b1*b2*…*b(p-1),把a*bi累乘得到a*b1*a*b2*…*a*b(p-1)，发现第二个式子因为是p-1个式子的连乘，所以一共有p-1个a，所以把a提出来的到a^(p-1)，将bi的连乘化简得到(p-1)！，a*bi就变成了a^(p-1)*(p-1)！，由模意义下的乘法不影响取模运算结果可知，(p-1)！≡(p-1)! * a^(p-1) (mod p)，两边约去(p-1)！，那么可得a^(p-1)≡1 (mod p)

备注：费马小定理是欧拉定理一个特殊情况下的形式，欧拉定理的证明我会在后面的博文中给出，这篇证明若有不当请联系作者指正，谢谢