Lucas(卢卡斯)

首先，Lucas（卢卡斯）定理是什么？有什么用？

Lucas定理是用来求 C(n,m) mod p，p为素数的值。（注意：p一定是素数）

有人会想，C(n,m)不能用C(n, m) = C(n - 1，m) + C(n - 1, m - 1)的公式来递推吗？

（ 提示：C(n, m) mod p = n!/(m!(n - m)!) mod p ）

可以是可以。但当n，m，p都很大时，你递推所用的时间就会很爆炸了。所以，这就需要用到Lucas定理来解决了。

因此，Lucas定理用来解决大组合数求模是很有用的。

卢卡斯(Lucas)定理
设 P 为素数，a,b∈N∗,并且

   //将a化为p进制数

    //将b化为p进制数
这里 0≤ai,bi≤p−1 都是整数，i=0,1,2,⋯,k. 则有

代码如下

#include 
#define pre(i,x,n) for(int i=x;i<=n;i++)
#define ll long long
using namespace std;
ll fac[100010],p;
void intt()
{
    fac[0]=fac[1]=1;
    pre(i,2,p){fac[i]=fac[i-1]*i%p;}
}
ll qpow(int x,int y)//求x的y次方
{
    ll ans=1;
    while(y)
    {
        if(y&1)
          ans=ans*x%p;
        x=x*x%p;
        y>>=1;
    }
    return ans;
}
ll C(int a,int b)
{
    if(b>a)
      return 0;
    //qpow（fac[b]*fac[a-b],p-2）为b!*(a-b)!关于p的逆元
    return fac[a]*qpow(fac[b]*fac[a-b],p-2)%p;
}
ll lucas(int a,int b)
{
    if(b==0)
      return 1;
    return C(a%p,b%p)*lucas(a/p,b/p)%p;
}
int main()
{
     int a,b;
     scanf("%d%d%lld",&a,&b,&p);
     intt();
     printf("%lld\n",lucas(a,b));
     return 0;
}

更快速的

#include 
#define pre(i,x,n) for(int i=x;i<=n;i++)
#define ll long long
using namespace std;
ll p=1000000007;
ll qpow(ll x,ll y)
{
    ll ans=1;
    while(y)
    {
        if(y&1)
          ans=ans*x%p;
        x=x*x%p;
        y>>=1;
    }
    return ans;
}
ll C(ll a,ll b)
{
    if(b>a)
      return 0;
    ll ans=1;
    pre(i,1,b)
    {
        ll n=(a-b+i)%p;
        ll m=i%p;
        ans=ans*(qpow(m,p-2)*n%p)%p;
    }
    return ans;
}
ll lucas(ll a,ll b)
{
    if(b==0)
      return 1;
    return C(a%p,b%p)*lucas(a/p,b/p)%p;
}
int main()
{
     ll t,n,m;
     scanf("%lld",&t);
     while(t--){
         scanf("%lld%lld",&n,&m);
         printf("%lld\n",lucas(n,m)%p);
     }
     return 0;
}