深度学习入门笔记（四）：向量化

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深度学习入门笔记（四）：向量化

1、向量化

向量化 是非常基础的去除代码中 for 循环的艺术。为什么要去除 for 循环？

当在深度学习安全领域、深度学习实践中应用深度学习算法时，会发现在代码中显式地使用 for 循环使算法很低效，同时在深度学习领域会有越来越大的数据集，因为深度学习算法处理大数据集效果很棒，所以代码运行速度非常重要，否则如果在大数据集上，代码可能花费很长时间去运行，你将要等待非常长的时间去得到结果。所以算法能应用且没有显式的 for 循环是很重要的，并且会帮助你适用于更大的数据集。所以在深度学习领域这里有一项叫做向量化的技术，是一个关键的技巧，它可以允许你的代码摆脱这些显式的 for 循环，举个栗子说明什么是向量化。

在逻辑回归中，需要去计算 $z=w^{T}x+b$，其中 $w$、$x$ 都是列向量。如果有很多的特征，那么就会有一个非常大的向量，所以 $w\in {\mathbb{R}}^{n_x}$ , $x\in {\mathbb{R}}^{n_x}$，那么如果想使用非向量化方法去计算 $w^{T}x$，就需要用如下方式（基于 python 编程实现）：

z = 0
for i in range(n_x):
    z += w[i] * x[i]
z += b

这是一个非向量化的实现，实践之后，你会发现这个是真的很慢，，，作为对比，向量化的实现将会非常直接计算 $w^{T}x$，代码如下：

z = np.dot(w, x) + b

这是向量化方式进行计算 $w^{T}x$ 的方法，你会发现这个非常快，尤其是对比之前的非向量化的实现。

让我们用一个小例子说明一下，在我的我将会写一些代码（以下为教授在他的Jupyter notebook上写的Python代码，）

import time  # 导入时间库
import numpy as np  # 导入numpy库


a = np.array([1, 2, 3, 4])  # 创建一个数据a
print(a)
# [1 2 3 4]

a = np.random.rand(1000000)
b = np.random.rand(1000000)  # 通过round随机得到两个一百万维度的数组
tic = time.time()  # 现在测量一下当前时间

# 向量化的版本
c = np.dot(a, b)
toc = time.time()
print("Vectorized version:" + str(1000 * (toc - tic)) + "ms")  # 打印一下向量化的版本的时间

# 继续增加非向量化的版本
c = 0
tic = time.time()
for i in range(1000000):
    c += a[i] * b[i]
toc = time.time()
print(c)
print("For loop:" + str(1000 * (toc - tic)) + "ms")  # 打印for循环的版本的时间

运行结果见下图：

在上面的代码中，使用两个方法——向量化和非向量化，计算了相同的值，其中向量化版本花费了0.968毫秒，而非向量化版本的 for 循环花费了327.997毫秒，大概是300多倍，准确倍数是 338.840 倍。仅仅在这个自己举的例子中，都可以明显看到效果。这意味着如果向量化方法需要花费一分钟去运行的数据，使用 for 循环将会花费5个小时去运行。

一句话总结，向量化快！！！

2、深入理解向量化

通过 numpy内置函数 和 避开显式的循环(loop) 的方式进行向量化，从而有效提高代码速度。根据经验，在写神经网络程序时，或者在写 逻辑(logistic)回归 时，或者在写其他神经网络模型时，应该避免写 循环(loop) 语句。虽然有时写 循环(loop) 是不可避免的，但是如果可以使用其他办法去替代计算，程序效率总是更快。

来看另外一个例子。如果想计算向量 $u=Av$，这时根据矩阵乘法的定义，有 $u_i={\sum }_j^{}{A}_{\text{ij}}{v}_i$。

• 非向量化方法：用 $u=np.zeros(n,1)$， 然后通过两层循环 $for(i):for(j):$，可以得到：

$$u[i]=u[i]+A[i][j]\ast v[j]$$

• 向量化方法：用 $u=np.dot(A,v)$

吴恩达老师手写稿如下：

---

下面通过另一个例子继续了解向量化。如果有一个向量 $v$，并且想要对向量 $v$ 的每个元素做指数操作。

• 非向量化方法：初始化向量 $u=np.zeros(n,1)$，然后通过循环依次计算每个元素 $v^i$
• 向量化方法：通过 python 的 numpy 内置函数，执行 $u=np.exp(v)$ 命令

numpy 库有很多向量函数，比如 u=np.log 是按元素计算对数函数($log$)、 np.abs() 是按元素计算数据的绝对值函数、np.maximum(v, 0) 是按元素计算 $v$ 中每个元素和和0相比的最大值，v**2 是按元素计算元素 $v$ 中每个值的平方、 1/v 是按元素计算 $v$ 中每个元素的倒数等等。

PS：当想写循环时，检查 numpy 是否存在类似的内置函数。

吴恩达老师手写稿如下：

希望你现在有一点向量化的感觉了，减少一层循环可以使代码更快一些！！！

3、向量化逻辑回归

如何实现逻辑回归的向量化计算？只要实现了，就能处理整个数据集了，甚至不会用一个明确的 for 循环，听起来是不是特别地 inspiring。

先回顾一下逻辑回归的前向传播，现有 $m$ 个训练样本，然后对第一个样本进行预测，$z^{(1)}=w^T{x}^{(1)}+b$；激活函数 $a^{(1)}=\sigma (z^{(1)})$；计算第一个样本的预测值 $y$。然后对第二个样本进行预测，第三个样本，依次类推。。。如果有 $m$ 个训练样本，可能需要这样重复做 $m$ 次。可不可以不用任何一个明确的 for 循环？

首先，定义一个 $n_x$ 行 $m$ 列的矩阵 $X$ 作为训练输入(如下图中蓝色 $X$)，numpy 形式为 $(n_x,m)$。

吴恩达老师手稿如下：

前向传播过程中，如何计算 $z^{(1)}$， $z^{(2)}$， ……一直到 $z^{(m)}$？构建一个 $1\times m$ 的行向量用来存储 $z$，这样可以让所有的 $z$ 值都同一时间内完成。实际上，只用了一行代码。即 $[z^{(1)},z^{(2)},...,z^{(m)}]=w^{T}X+[b,b,...,b]=[w^T{x}^{(1)}+b,w^T{x}^{(2)}+b...w^T{x}^{(m)}+b]$。为什么 $w$ 要转置呢？

希望你尽快熟悉矩阵乘法，因为矩阵乘法的要求中有一条是，两个矩阵相乘，左面矩阵的列数需要等于右面矩阵的行数，$X$ 也是 $(n_x,m)$，$w$ 也是 $(n_x,1)$，而 $w^T$ 是 $(1,n_x)$，正好符合 $w^{T}X+b$ 的公式，且保证了矩阵乘法的条件。其中 $w^T{x}^{(1)}+b$ 这是第一个元素，$w^T{x}^{(2)}+b$ 这是第二个元素, …, $w^T{x}^{(m)}+b$ 这是第 $m$ 个元素。分别与 $z^{(1)}$, $z^{(2)}$, …对应。所以，$X$ 是一次获得的一次获得全部。

但是细心的你会发现，为了计算 $w^{T}X+[b,b,...,b]$，使用 numpy 命令 $Z=np.dot(w.T,X)+b$。这里有一个巧妙的地方，$np.dot(w.T,X)$ 是一个$1\times m$ 的矩阵，而 $b$ 是一个实数，或者可以说是一个 $1\times 1$ 的矩阵，那么如何把一个向量加上一个实数？

这里简单说一下：Python 自动地把实数 $b$ 扩展成一个 $1\times m$ 的行向量，只有这样才能进行矩阵相加（矩阵相加需要两个矩阵等大小）。这个操作似乎有点不可思议，它在 Python 中被称作 广播(brosdcasting)，目前你不用对此感到顾虑，这在博客——深度学习入门笔记（五）：神经网络的编程基础中会详细讲解！

现在说一下字母规范：大写的 $Z$ 是一个包含所有小写 $z^{(1)}$ 到 $z^{(m)}$ 的 $1\times m$ 的矩阵，而大写 $A$ 则是包含所有小写 $a^{(1)}$ 到 $a^{(m)}$ 的 $1\times m$ 的矩阵。

简单小结一下，不要 for 循环，利用 $m$ 个训练样本使用向量化的方法，一次性计算出 $Z$ 和 $A$。

$$Z=w^{T}X+b$$

$$A=\sigma (Z)$$

4、向量化逻辑回归的梯度输出

注：本节中大写字母代表向量，小写字母代表元素

如何 同时 计算 $m$ 个数据的梯度，并且实现一个非常高效的 逻辑回归算法(Logistic Regression) ？

之前在讲梯度计算的时候（深度学习入门笔记（二）：神经网络基础），列举过几个例子， $d{z}^{(1)}=a^{(1)}-y^{(1)}$, $d{z}^{(2)}=a^{(2)}-y^{(2)}$, ……等等一系列类似公式。不过当时是单样本数据计算，现在对 $m$ 个数据做同样的计算，可以照着上一章讲过的，定义一个新的变量 $dZ=[d{z}^{(1)},d{z}^{(2)}...d{z}^{(m)}]$，每一个样本的 $dz$ 横向排列，就可以得到一个 $1\times m$ 的 $dZ$ 矩阵了。

$A=[a^{(1)},a^{(2)},...,a^{(m)}]$ 我们已经知道计算方法了，那么就差一个 $Y=[y^{(1)},y^{(2)},...,y^{(m)}]$，然后就可以计算 $dZ=A-Y=[a^{(1)}-y^{(1)},a^{(2)}-y^{(2)},...,a^{(m)}-y^{(m)}]$，刚好分别对应 $d{z}^{(1)}$，$d{z}^{(2)}$，……

开始向量化逻辑回归的梯度输出：

首先是

$$db=\frac{1}{m}\sum _{i=1}^{m}d{z}^{(i)}$$

向量化代码如下：

$$db=\frac{1}{m}\ast np.sum(dZ)$$

接下来是

$$dw=\frac{1}{m}\ast X\ast d{z}^T$$

其中，$X$ 是一个行向量。因此展开后是

$$dw=\frac{1}{m}\ast (x^{(1)}d{z}^{(1)}+x^{(2)}d{z}^{(2)}+...+x^{m}d{z}^m)$$

向量化代码如下：

$$db=\frac{1}{m}\ast np.sum(dZ)$$

$$dw=\frac{1}{m}\ast X\ast d{z}^T$$

这样，就避免了在训练集上使用 for 循环。对比之前实现的逻辑回归，可以发现，没有向量化是非常低效的，代码量还多。。。

翻新后的计算如下：

$$Z=w^{T}X+b=np.dot(w.T,X)+b$$

$$A=\sigma (Z)$$

$$dZ=A-Y$$

$$dw=\frac{1}{m}\ast X\ast d{z}^T$$

$$db=\frac{1}{m}\ast np.sum(dZ)$$

---

$$w:=w-a\ast dw$$

$$b:=b-a\ast db$$

前五个公式完成了前向和后向传播，后两个公式进行梯度下降更新参数。

最后的最后，终于得到了一个高度向量化的、非常高效的逻辑回归的梯度下降算法，是不是？

推荐阅读

• 深度学习入门笔记（一）：深度学习引言
• 深度学习入门笔记（二）：神经网络基础
• 深度学习入门笔记（三）：求导和计算图

参考文章

• 吴恩达——《神经网络和深度学习》视频课程