离散数学及其应用学习笔记——主定理（Master Theorem）的证明

先贴出两个初中数学公式
使用换根公式和对数倒数性质可以得出这样的结论：

alogbn=nlogba

等比数列求和公式：

Sn=anq−a1q−1

这个关于f(n)的公式可以估计满足分治关系的函数的阶：如果 f(n)=af(nb)+g(n) 那么有：

f(n)=akf(1)+∑j=0k−1ajg(nbj)

主定理(MasterTheorem):

设 f 是满足递推关系：

f(n)=af(nb)+cnd

的增函数，其中 n=bk , k 是一个正整数， a≥1 , b 是大于1的正整数， c 和 d 是实数，满足 c 是正的且 b 是非负的。那么 f(n) 是

1. O(nd) a<bd

2. O(ndlogn) a=bd

3. O(nlogba) a>bd

怎么证明呢？可以分为三种情况来证明:

1. a<bd
2. a=bd
3. a>bd

首先可以将 f(n)=akf(1)+∑k−1j=0ajg(nbj) ，代入主定理递推关系，因为 g(n)=cnd ，可以得到

f(n)=akf(1)+c∑j=0k−1aj(nbj)d=akf(1)+c∑j=0k−1aj(nbj)d

由于 n=bk ，所以 k=logbn

优先考虑 a=bd 的情况：

f(n)=akf(1)+c∑j=0k−1aj(nbj)d=akf(1)+c∑j=0k−1aj(nbj)d=(bd)logbnf(1)+cnd∑j=0k−1(bd)jb−jd=ndf(1)+cndk=ndf(1)+cndlogbn

所以 a=bd 时， f(n) 是 O(ndlogn)

然后是 a≠bd 的情况，使用等比数列求和公式可以做出如下推导：

f(n)=akf(1)+c∑j=0k−1aj(nbj)d=akf(1)+c∑j=0k−1aj(nbj)d=akf(1)+cnd∑j=0k−1(abd)j=akf(1)+((abd)k−1)cndbda−bd=akf(1)+(abd)logbncbdnda−bd+ndbdcbd−a=nlogbaf(1)+(abd)logbncbdnda−bd+ndbdcbd−a=nlogbaf(1)+nlogbabdcbdnda−bd+ndbdcbd−a=nlogbaf(1)+nlogban−dcbdnda−bd+ndbdcbd−a=nlogbaf(1)+nlogbacbda−bd+ndbdcbd−a=nlogbaf(1)+nlogban−dcbdnda−bd+ndbdcbd−a=C1nd+C2nlogba

这里 C1=bdcbd−a ， C2=f(1)+bdca−bd

我们还可以推导出结论:

当 a<bd

logba<logbbd=d

当 a>bd

logba>logbbd=d

同时使用已经得出的结论 f(n)=C1nd+C2nlogba ，可以完成证明

1. O(nd) a<bd

2. O(nlogba) a>bd

至此，主定理的证明全部完成。