学习IMU预积分(3)李群与李代数关系

背景:目前开始学习IMU的预积分与Christian Forster 与其组员的论文:IMU Preintegration on Manifold for Efficient Visual-Inertial Maximum-a-Posteriori Estimation。

 

这文章涉及到基础知识李群与李代数,此文章先铺垫一下基础知识,大部分东西都从《视觉SLAM十四讲》搬运过来。
 

1. 关系

我们用SO(3) 来做例子,李群就是在三维空间里面的一个流形,如第二节图所示。而其李代数so(3)就是这个流形在某一点的导数空间,或者说是这个流形在某一点的切面。对于流形,不明白的请看知乎流形讨论。

 

这个关系反应在数学层面上,就有个好处。对于一个旋转矩阵,它的导数=它的李代数乘于他自己,i.e., \dot{R} = \phi^{\Lambda}R=\begin{bmatrix} 0&-\phi_1 & \phi_2\\ \phi_1&0 & -\phi_3\\ -\phi_2& \phi3 & 0 \end{bmatrix}R

 

2. 映射

不严谨地来说,SO(3)与so(3)之间的映射可以简单写为:

SO(3) = exp(so(3)^{\Lambda}) <=> R = exp(\phi^{\Lambda})

so(3) = log(SO(3))^{\nu} <=> \phi = log(R)^\nu

 

3. 增量上的映射

如果在so(3)上加一个增量,即\phi+\delta{\phi}, 其映射回到SO(3)上的一点(如下图A点)等价与R作什么变动呢?

答案是,exp(\phi)exp(Jr(\phi)\delta{\phi})

因Baker-Cambell-Hausdorff告诉我们,

\phi+\delta{\phi} x \mapsto SO(3) = exp((\phi+\delta{\phi})^{\Lambda}) = exp(\phi^{\Lambda})exp((Jr(\phi)\delta{\phi})^{\Lambda})

=> exp((\phi+\delta{\phi})) = exp(\phi)exp((Jr(\phi)\delta{\phi}))  即论文公式7。

这里的Jr(\phi)是右雅克比矩阵区别于做雅克比矩阵J_l(\phi)Jr(\phi)=I - \frac{1-cos(||\phi||)}{||\phi\\^2}\phi^{\Lambda}+\frac{||\phi||+sin(||\phi||)}{||\phi^3||}(\phi^{\Lambda})^2即论文公式8。

 

wAAACH5BAEKAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==学习IMU预积分(3)李群与李代数关系_第1张图片

如果在SO(3)上乘于一个增量,即R\Delta{R}, 其映射回到so(3)上的一点等价与\phi作什么变动呢?

答案是,exp(\phi+Jr^{-1}(\phi)\delta{\phi})

因Baker-Cambell-Hausdorff告诉我们,

\small R\Delta{R} x\mapsto so(3):log(R\Delta{R})=log(exp(\phi^{\Lambda})exp(\delta{\phi})^{\Lambda})=log(exp((\phi+Jr^{-1}(\phi)\delta{\phi})^{\Lambda}))

=> log(exp(\phi)exp(\delta{\phi}))= \phi+Jr^{-1}(\phi)\delta{\phi}  即论文公式9。

 

 

至于SE(3)与se(3)我就不展开了,因为论文里没有涉及到。

 

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