学习IMU预积分(3)李群与李代数关系

背景：目前开始学习IMU的预积分与Christian Forster 与其组员的论文：IMU Preintegration on Manifold for Efficient Visual-Inertial Maximum-a-Posteriori Estimation。

 

这文章涉及到基础知识李群与李代数，此文章先铺垫一下基础知识，大部分东西都从《视觉SLAM十四讲》搬运过来。
 

１．　关系

我们用SO(3) 来做例子，李群就是在三维空间里面的一个流形，如第二节图所示。而其李代数so(3)就是这个流形在某一点的导数空间，或者说是这个流形在某一点的切面。对于流形，不明白的请看知乎流形讨论。

 

这个关系反应在数学层面上，就有个好处。对于一个旋转矩阵，它的导数＝它的李代数乘于他自己，i.e.,

 

２．　映射

不严谨地来说，SO(3)与so(3)之间的映射可以简单写为：

 

３．　增量上的映射

如果在so(3)上加一个增量，即, 其映射回到SO(3)上的一点（如下图Ａ点）等价与Ｒ作什么变动呢？

答案是，。

因Baker-Cambell-Hausdorff告诉我们，

=>   即论文公式７。

这里的是右雅克比矩阵区别于做雅克比矩阵，即论文公式8。

 

​

如果在SO(3)上乘于一个增量，即, 其映射回到so(3)上的一点等价与作什么变动呢？

答案是，。

因Baker-Cambell-Hausdorff告诉我们，

=>   即论文公式9。

 

 

至于SE(3)与se(3)我就不展开了，因为论文里没有涉及到。