[齐次线性递推式 多项式取模] BZOJ4161. Shlw loves matrixI

模板题
设转移矩阵为 M
它的特征多项式为 f(x)=|xI−M|
按第一行拉普拉斯展开，得到 f(x)=xk−∑ki=1aixk−i
由Cayley-hamilton定理，可以知道 f(M)=0 ，所以 Mk=∑ki=1aiMk−i
那么我们是要求 Mn ，只要乘上 Mn−k 然后对 f(x) 取模就行了

#include 
#include 
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using namespace std;

const int N=4010,P=1e9+7;

int n,k,a[N],b[N],h[N],c[N],m[N];

inline void mul(int *a,int *b){
  for(int i=0;i<=2*k;i++) c[i]=0;
  for(int i=0;ifor(int j=0;j1LL*a[i]*b[j])%P;
  for(int i=2*k-2;i>=k;i--)
    for(int j=1;j<=k;j++)
      c[i-j]=(c[i-j]+1LL*c[i]*m[k-j])%P;
  for(int i=0;iint main(){
  scanf("%d%d",&n,&k);
  for(int i=k-1;~i;i--)
    scanf("%d",&a[i]),a[i]=(a[i]+P)%P;
  for(int i=0;i"%d",&h[i]),h[i]=(h[i]+P)%P;
  for(int i=k;i<=2*k-2;i++)
    for(int j=1;j<=k;j++)
      h[i]=(h[i]+1LL*h[i-j]*a[k-j])%P;
  if(n<=2*k-2) return printf("%d\n",h[n]),0;
  b[1]=1;
  for(int i=0;im[i]=a[i];
  for(int i=n-2*k+1;i;i>>=1,mul(b,b))
    if(i&1) mul(a,b);
  int ans=0;
  for(int i=k-1;i1;i++) ans=(ans+1LL*a[i-k+1]*h[i])%P;
  printf("%d\n",ans);
  return 0;
}