已知三点求平面法向量

空间已知三点的位置p1(x1,y1,z1),p2(x2,y2,z2),p3(x3,y3,z3),令它们逆时针在空间摆放。这样就可以得到平面的两个向量p1p2(x2-x1,y2-y1,z2-z1),p1p3(x3-x1,y3-y1,z3-z1)，而平面法线总是和这两个向量垂直。也就是说，p1p2与p1p3的向量积就是平面的法向量n。

复习一下向量积，已知向量

a=(a1,a2,a3) b=(b1,b2,b3)
其向量积可表示为：
a×b=(a2b3-a3b2，a3b1-a1b3，a1b2-a2b1)

将其套入到p1p2和p1p3即可。
具体实现代码如下：

#include

using namespace std;

//三维double矢量
struct Vec3d
{
    double x, y, z;

    Vec3d()
    {
        x = 0.0;
        y = 0.0;
        z = 0.0;
    }
    Vec3d(double dx, double dy, double dz)
    {
        x = dx;
        y = dy;
        z = dz;
    }
    void Set(double dx, double dy, double dz)
    {
        x = dx;
        y = dy;
        z = dz;
    }
};

//计算三点成面的法向量
void Cal_Normal_3D(const Vec3d& v1, const Vec3d& v2, const Vec3d& v3, Vec3d &vn)
{
    //v1(n1,n2,n3);
    //平面方程: na * (x – n1) + nb * (y – n2) + nc * (z – n3) = 0 ;
    double na = (v2.y - v1.y)*(v3.z - v1.z) - (v2.z - v1.z)*(v3.y - v1.y);
    double nb = (v2.z - v1.z)*(v3.x - v1.x) - (v2.x - v1.x)*(v3.z - v1.z);
    double nc = (v2.x - v1.x)*(v3.y - v1.y) - (v2.y - v1.y)*(v3.x - v1.x);

    //平面法向量
    vn.Set(na, nb, nc);
}

int main()
{   
    Vec3d v1(1.0, 5.2, 3.7);
    Vec3d v2(2.8, 3.9, 4.5);
    Vec3d v3(7.6, 8.4, 6.2);
    Vec3d vn;
    Cal_Normal_3D(v1, v2, v3, vn);
    cout <<"法向量为："<< vn.x << '\t' << vn.y << '\t' << vn.z << '\n';

    return 0;
}

对于一个空间的平面而言，其法向量可以是两个方向，可以向上也可以向下。所以在OpenGL中默认规定的也是右手法则，右手除拇指之外的四指根据点的逆时针握住，大拇指的方向即为法线方向。其逆时针的一面为正面，可以接受到光照；顺时针为反面，无法接受光照。