【数论】快速幂及取余wikioi1497,2952

前不久接触了数论,发现。。。。果然数论好难啊!!!!不过还是有一些简单的,首先快速幂及取余是要掌握的,在求幂时,如果用朴素算法,时间是O(n),而快速幂则是O(logn),举个例子,如果用朴素算法计算a^41,就需要做41 次乘法运算。时间复杂度O(n)。
使用分治算法,就有:a ^ 41=(a ^ 20) ^ 2 * a,a ^ 20=(a ^ 10) ^ 2,a ^ 10=(a ^ 5) ^ 2,a5=(a ^ 2) ^ 2 * a,a2=(a)^2。只需7 次乘法运算。时间复杂度O(logn),快速幂有递归形式及非递归形式

a^b的形式,递归版

long long quickpow(long long a, long long b)
{
if (b == 0) return 1;//a^0 = 1
long long r = quickpow(a, b / 2);//分治
r *= r;//偶次幂
if (b % 2)//如果是奇次幂,还需多乘一次
r = r * a;
return r;
}

非递归:

long long quickpow(long long a, long long b)
{
long long d = 1, t = a;
while (b > 0)
{
if (t == 1) return d;
if (b % 2)
d = d * t;
b = b / 2;
t = t * t;
} return d;
}


快速幂取模 a^b % n

long long quickdiv(long long a, long long b, long long n)
{
long long d=1, t=a;
while (b>0)
{
if (t==1) return d;
if (b%2)
d=d*t%n;
b=b/2;
t=t*t%n;
} return d;
}

下面是一些题

wikioi1497:http://codevs.cn/problem/1497/

1497 取余运算

 时间限制: 1 s
 空间限制: 128000 KB
 题目等级 : 钻石 Diamond




题目描述 Description

输入bpk的值,编程计算bp mod k的值。其中的bpk*k为长整型数(2^31范围内)。

输入描述 Input Description

b p k 

输出描述 Output Description

输出b^p mod k=?

=左右没有空格

样例输入 Sample Input

2  10  9

样例输出 Sample Output

2^10 mod 9=7

【代码】:

#include
#include
using namespace std;
long long b, p, k;
long long qpow()
{
	long long a = p;
	long long d = 1, t = b;
	while(a > 0)
	{
		if(t == 1)return d % k;
		if(a % 2)d = d * t % k;
		a = a / 2;
		t = t * t % k;
	}
	return d;
}
int main()
{
	scanf("%lld%lld%lld", &b, &p, &k);
	printf("%lld^%lld mod %lld=%lld\n",b,p,k,qpow());
	return 0;
}

wikioi 2952: http://codevs.cn/problem/2952/

2952 细胞分裂 2

 时间限制: 2 s
 空间限制: 16000 KB
 题目等级 : 钻石 Diamond




题目描述 Description

著名生物学家F博士发现了一种单细胞生物。

它长得像蚯蚓,分裂速度极快(每分钟一次),分裂也像蚯蚓一样,断成两段,再长成。

它很好斗,只要q只聚集在一起,就会q只一群打起来,当然都会打死。

假设一开始有1只,求a分钟后有多少只单细胞蚯蚓?

输入描述 Input Description

两个正整数A  Q

输出描述 Output Description

答案

样例输入 Sample Input

4 5

样例输出 Sample Output

1

数据范围及提示 Data Size & Hint

对于50%数据,A<=20,Q<=100.

对于全部数据,A<=2*10^9,Q<=10^8.

【代码】:

#include
using namespace std;
long long a,q;
long long qpow()
{
	long long d = 1, t = 2;
	while(a > 0)
	{
		if(t == 1)return d % q;
		if(a % 2)d = d * t % q;
		a /= 2;
		t = t * t % q;
	}
	return d;
}
int main()
{
	scanf("%lld%lld", &a, &q);
	printf("%lld",qpow());
	return 0;
}

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