关于排列组合中的一个重要公式的理解

关于排列组合中的一个重要公式的理解

重要公式:
C n m + C n m − 1 = C n + 1 m ( ∗ ) C_n^m+C_n^{m-1}=C_{n+1}^m (*) Cnm+Cnm1=Cn+1m
说明: 相信这个公式在很多人眼里都是耳熟能详的了。但是很奇怪的一件事情是,没有很好的数学理解行为习惯(或者没有深刻的认识),这个公式很容易忘记,下面就介绍该如何感性地理解这个公式。

具体理解:
假设我们有一堆球共计 n + 1 n+1 n+1 个(其中 n n n 个白球, 1 1 1个红球)。
关于排列组合中的一个重要公式的理解_第1张图片
现在我们要在这 n + 1 n+1 n+1 个球里面取出 m m m 个球,共有 C n + 1 m C_{n+1}^m Cn+1m 种取法,即(*)式右边。
我们对这 m m m 个球作出分析,无非是两种情况 (图中"+"标记的球即为取到的球) :

情况1. m m m 个球全是白球。
情况2. m m m 个球有 m − 1 m-1 m1 个白球, 1 1 1个红球。

对于情况1对应公式 C n m C_n^m Cnm 种,理解为 n n n 个白球里面选 m m m 个球。
关于排列组合中的一个重要公式的理解_第2张图片

对于情况2对应公式 C n m − 1 = C n m − 1 ∗ C 1 1 C_n^{m-1}=C_n^{m-1}*C_1^1 Cnm1=Cnm1C11 种,理解为我们在 n n n 个白球里面取出 m − 1 m-1 m1 个白球,在1个红球里面取出1个球。
关于排列组合中的一个重要公式的理解_第3张图片

这样一来,理解与记忆 (*) 式也便容易了许多。

你可能感兴趣的:(程序员的数学)