一阶常微分方程

解一个像 $y^{\prime }+p(x)y=q(x)$这样的
$p(x),q(x)一下简写成p,q$

变量替换法：

$令y=uv$
$y^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$
$u^{\prime }v+u{v}^{\prime }+puv=q$
$u^{\prime }v+u$$(v^{\prime }+pv)$$=q$
要是红色的这一项是0就好啦~
那我们就让他等于0吧(๑◡๑)

$v^{\prime }+pv=0$

$\frac{v^{\prime }}{v}$=–p

$\int \frac{v^{\prime }}{v}$dx=$\int$–pdx

$lnv=\int --pdx$

$v=C_1{e}^{\int -pdx}$

$所以,当v等于这么多时，那一坨就没了$

$这时只需要求u^{\prime }v=q了$

$u^{\prime }=\frac{q}{v}$

$\int u^{\prime }dx=\int \frac{q}{v}dx$

$u=\int \frac{q}{v}dx+C_2$

$=\int \frac{q}{C_1{e}^{\int -pdx}}dx+C_2$

$这样u和v就都求出来了$

$所以y就=uv$
$=(\int \frac{q}{C_1{e}^{\int -pdx}}dx+C_2)C_1{e}^{\int -pdx}$

$=(\int \frac{q}{C_1{e}^{\int -pdx}}dx+C)e^{\int -pdx}$

这种叫做变量替换法

常数变易法：

$当q=0的时候，y就好求$

$y=C{e}^{\int -pdx}$

$但q不等于0，所以那个常数C肯定不会是常数，就让他变成u吧$

$y=u{e}^{\int -pdx}$

$然后再带入原方程把u反解出来：$

$u=\int \frac{q}{e^{\int -pdx}}+C$

所以

$y=(\int \frac{q}{C_1{e}^{\int -pdx}}dx+C)e^{\int -pdx}$