（七）排队论

排队论

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排队论（Queuing Theory）也称随机服务系统理论，就是为解决一些生活问题而发展的一门学科。它研究的内容有下列三部分：
（i）性态问题，即研究各种排队系统的概率规律性，主要是研究队长分布、等待时间分布和忙期分布等，包括了瞬态和稳态两种情形
（ii）最优化问题，又分静态最优和动态最优，前者指最优设计。后者指现有排队系统的最优运营
（iii）排队系统的统计推断，即判断一个给定的排队系统符合于哪种模型，以便根据排队理论进行分析研究。这里将介绍排队论的一些基本知识，分析几个常见的排队模型

基本概念

排队过程的一般表示

各个顾客从顾客源出发，随机地来到服务机构，按一定的排队规则等待服务，直到按一定的服务规则接受完服务后离开排队系统

排队系统的组成和特征

• 输入过程
  
  1. 顾客的组成可能是有限的，也可能是无限的
  2. 顾客到达的方式可能是一个—个的，也可能是成批的
  3. 顾客到达可以是相互独立的，即以前的到达情况对以后的到达没有影响；否则是相关的
  4. 输入过程可以是平稳的，即相继到达的间隔时间分布及其数学期望、方差等数字特征都与时间无关，否则是非平稳的
• 排队规则
  
  1. 损失制：当顾客到达时，所有的服务台均被占用，顾客随即离去
  2. 等待制。当顾客到达时，所有的服务台均被占用，顾客就排队等待，直到接受完服务才离去
  3. 混合制。介于损失制和等待制之间的是混合制

• 服务过程

  1. 服务机构：单服务台；多服务台并联（每个服务台同
     时为不同顾客服务）；多服务台串联（多服务台依次为同一顾客服务）；混合型

  2. 服务规则：

     • 先到先服务，这是通常的情形。
     • 后到先服务，如情报系统中，最后到的情报信息往往最有价值，因而常被优先处理
     • 随机服务，服务台从等待的顾客中随机地取其一进行服务，而不管到达的先后
     • 优先服务，如医疗系统对病情严重的病人给予优先治疗

  3. 排队模型的符号表示（ X/Y/Z/A/B/C ）

     • 第一个符号X 表示顾客到达流或顾客到达间隔时间的分布；第二个符号Y 表示服务时间的分布；第三个符号Z 表示服务台数目；第四个符号A 是系统容量限制；第五个符号B 是顾客源数目；第六个符号C 是服务规则，如先到先服务FCFS，后到先服务LCFS 等。并约定，如略去后三项，即指 X /Y / Z /∞/∞/ FCFS的情形。我们只讨论先到先服务 FCFS的情形，所以略去第六项
     • 间隔时间和服务时间的分布
     • M —指数分布（M 是Markov 的字头，因为指数分布具有无记忆性，即Markov性）
     • D —确定型（Deterministic）
     • k E — k 阶爱尔朗(Erlang)分布
     • G —一般（general）服务时间的分布
     • GI —一般相互独立（General Independent）的时间间隔的分布
  4. 排队系统的运行指标
  5. 平均队长：指系统内顾客数（包括正被服务的顾客与排队等待服务的顾客）的数学期望，记作 Ls
  6. 平均排队长:指系统内等待服务的顾客数的数学期望，记作 Lq
  7. 平均逗留时间：顾客在系统内逗留时间（包括排队等待的时间和接受服务的时间）的数学期望，记作 Ws
  8. 平均等待时间：指一个顾客在排队系统中排队等待时间的数学期望，记作 Wq
  9. 平均忙期：指服务机构连续繁忙时间（顾客到达空闲服务机构起，到服务机构再次空闲止的时间）长度的数学期望.记为 Tb
  10. 服务强度等

输入过程与服务时间的分布

排队系统中的事件流包括顾客到达流和服务时间流。由于顾客到达的间隔时间和服务时间不可能是负值，因此，它的分布是非负随机变量的分布。最常用的分布有泊松分布、确定型分布，指数分布和爱尔朗分布

泊松流与指数分布

设 N(t) 表示在时间区间 [0,t) 内到达的顾客数 (t>0) ，令 Pn(t1,t2) 表示在时间区间 [t1,t2) 内有 n(n≥0) 个顾客到达的概率。当 Pn(t1,t2) 符合于下列三个条件时，我们说顾客的到达形成泊松流。

• 在不相重叠的时间区间内顾客到达数是相互独立的，我们称这性质为无后效性。

• 对于充分小的Δt，在时间区间[t,t + Δt)内有两个或两个以上顾客到达的概率极小，以致可以忽略，即

• 对充分小的 △t ，在时间区间 [t,t+△t) 内有一个顾客到达的概率与 t 无关，而约与区间长 △t 成正比，即
  

  P1(t,t+△t)=λ△t+o(△t)
  
  其中 o(Δt) ，当 Δt→0 时，是关于 Δt 的高阶无穷小。 λ>0 是常数，它表示单位时间有一个顾客到达的概率，称为概率强度

μ 表示单位时间能被服务完成的顾客数，称为平均服务率

常用的几种概率分布及其产生

1. 连续型

   • 均匀分布

   • 正态分布

     正态分布还可以作为二项分布一定条件下的近似

   • 指数分布

   • Gamma 分布

   • Weibull 分布

   • Beta 分布

2. 离散型

   • Bernoulli 分布（两点分布）

   • 泊松（Poisson）分布

   • 二项分布

     在独立进行的每次试验中，某事件发生的概率为 p ，则 n 次试验中该事件发生的次数 K 服从二项分布

生灭过程

未完待续~

产生给定分布的随机数的方法

Matlab 可以产生常用分布的随机数。下面我们介绍按照给定的概率分布产生随机数的一般方法，这些方法都以 U(0,1) 分布的随机变量为基础

反变换法

卷积法

取舍法

排队模型的计算机模拟

确定随机变量概率分布的常用方法

1. 根据一般知识和经验，可以假定其概率分布的形式：

   • 顾客到达间隔服从指数分布 Exp(λ)

   • 产品需求量服从正态分布 N(μ,σ2)

   • 订票后但未能按时前往机场登机的人数服从二项分布 B(n,p)

     然后由实际数据估计分布的参数λ,μ,σ 等，参数估计

     可用极大似然估计、矩估计等方法

     未完待续~

2. 直接由大量的实际数据作直方图，得到经验分布，再通过假设检验，拟合分布函数，可用 χ2 检验等方法

3. 既缺少先验知识，又缺少数据时，对区间 (a,b) 内变化的随机变量，可选用 Beta 分布（包括均匀分布）。先根据经验确定随机变量的均值 μ 和频率最高时的数值（即密度函数的最大值点） m ，则 Beta 分布中的参数 α1,α2 可以求出见^162页^

计算机模拟

当排队系统的到达间隔时间和服务时间的概率分布很复杂时，或不能用公式给出时，那么就不能用解析法求解。这就需用随机模拟法求解，现举例说明。

设某仓库前有一卸货场，货车一般是夜间到达，白天卸货，每天只能卸货2车，若一天内到达数超过2 车，那么就推迟到次日卸货。根据下表所示的数据，货车到达数的概率分布（相对频率）平均为1.5 车/天，求每天推迟卸货的平均车数

到达车数	0	1	2	3	4	5	≥ 6
概率	0.23	0.3	0.3	0.1	0.05	0.02	0.00

这是单服务台的排队系统，可验证到达车数不服从泊松分布，服务时间也不服从指数分布（这是定长服务时间）。随机模拟法首先要求事件能按历史的概率分布规律出现。一定范围随机数对应一定区间的到达车辆数

这里直接用概率就行

程序如下：

clear
rand('state',sum(100*clock));
n=50000;
m=2
a1=rand(n,1);
a2=a1; %a2初始化
a2(find(a1<0.23))=0;
a2(find(0.23<=a1&a1<0.53))=1;
a2(find(0.53<=a1&a1<0.83))=2;
a2(find(0.83<=a1&a1<0.93),1)=3;
a2(find(0.93<=a1&a1<0.98),1)=4;
a2(find(a1>=0.98))=5;
a3=zeros(n,1);a4=zeros(n,1);a5=zeros(n,1); %a2初始化
a3(1)=a2(1);
if a3(1)<=m
a4(1)=a3(1);a5(1)=0;
else
a4(1)=m;a5(1)=a2(1)-m;
end
for i=2:n
a3(i)=a2(i)+a5(i-1);
if a3(i)<=m
a4(i)=a3(i);a5(i)=0;
else
a4(i)=m;a5(i)=a3(i)-m;
end
end
a=[a1,a2,a3,a4,a5];
sum(a)/n

案例二：

银行计划安置自动取款机，已知A 型机的价格是B 型机的2 倍，而A 型机的性能—平均服务率也是B 型机的2 倍，问应该购置1 台A 型机还是2 台B 型机

为了通过模拟回答这类问题，作如下具体假设，顾客平均每分钟到达1 位， A 型机的平均服务时间为0.9 分钟， B 型机为1.8 分钟，顾客到达间隔和服务时间都服从指数分布，2台B型机采取M /M / 2模型（排一队），用前 100 名顾客（第 1 位顾客到
达时取款机前为空）的平均等待时间为指标，对A型机和B 型机分别作1000 次模拟，进行比较。
理论上已经得到， A 型机和 B 型机前100 名顾客的平均等待时间分别为4.13，3.70即B型机优

模拟：

tic
rand('state',sum(100*clock));
n=100;m=1000;mu1=1;mu2=0.9;
for j=1:m
cspan=exprnd(mu1,1,n);sspan=exprnd(mu2,1,n);
ctime(1)=cspan(1);
gtime(1)=ctime(1)+sspan(1);
wtime(1)=0;
for i=2:n
ctime(i)=ctime(i-1)+cspan(i);
gtime(i)=max(ctime(i),gtime(i-1))+sspan(i);
wtime(i)=max(0,gtime(i-1)-ctime(i));
end
result1(j)=sum(wtime)/n;
end
result_1=sum(result1)/m
toc
%类似地，模拟B 型机的程序如下：
tic
rand('state',sum(100*clock));
n=100;m=1000;mu1=1;mu2=1.8;
for j=1:m
cspan=exprnd(mu1,1,n);sspan=exprnd(mu2,1,n);
ctime(1)=cspan(1);ctime(2)=ctime(1)+cspan(2);
gtime(1:2)=ctime(1:2)+sspan(1:2);
wtime(1:2)=0;flag=gtime(1:2);
for i=3:n
ctime(i)=ctime(i-1)+cspan(i);
gtime(i)=max(ctime(i),min(flag))+sspan(i);
wtime(i)=max(0,min(flag)-ctime(i));
flag=[max(flag),gtime(i)];
end
result2(j)=sum(wtime)/n;
end
result_2=sum(result2)/m
toc

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